设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. 证明β,Aβ,A2β线性无关;

admin2021-07-27  59

问题 设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α123
证明β,Aβ,A2β线性无关;

选项

答案设存在一组常数k1,k2,k3,使k1β+k2Aβ+k3A2β=0,(*)由题设有Aαiiαi(i=1,2,3),于是Aβ=Aα1+Aα2+Aα31α12α23α3,A2β=λ12α1+联系2α232α3,代入(*)式整理得(k1+k2λ1+k3λ121+(k1+k2λ2+k3λ222+(k1+k2λ3+k3λ323=0.因为α1,α2,α3是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有[*]这是一个关于未知数k1,k2,k3的线性方程组,其系数行列式[*]≠0,必有k1k2k3=0,故β,Aβ,A2β线性无关.

解析
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