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设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． 证明β，Aβ，A2β线性无关；
设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． 证明β，Aβ，A2β线性无关；
admin
2021-07-27
114
问题
设A为3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α
1
，α
2
，α
3
，令β=α
1
+α
2
+α
3
．
证明β，Aβ，A
2
β线性无关；
选项
答案
设存在一组常数k
1
，k
2
，k
3
，使k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0，(*)由题设有Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1，2，3)，于是Aβ=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=α
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
，A
2
β=λ
1
2
α
1
+联系
2
α
2
+λ
3
2
α
3
，代入(*)式整理得(k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0．因为α
1
，α
2
，α
3
是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有[*]这是一个关于未知数k
1
，k
2
，k
3
的线性方程组，其系数行列式[*]≠0，必有k
1
k
2
k
3
=0，故β，Aβ，A
2
β线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Fy4777K
0
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