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设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. 证明β,Aβ,A2β线性无关;
设A为3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. 证明β,Aβ,A2β线性无关;
admin
2021-07-27
61
问题
设A为3阶矩阵,λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α
1
,α
2
,α
3
,令β=α
1
+α
2
+α
3
.
证明β,Aβ,A
2
β线性无关;
选项
答案
设存在一组常数k
1
,k
2
,k
3
,使k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0,(*)由题设有Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1,2,3),于是Aβ=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=α
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
,A
2
β=λ
1
2
α
1
+联系
2
α
2
+λ
3
2
α
3
,代入(*)式整理得(k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0.因为α
1
,α
2
,α
3
是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有[*]这是一个关于未知数k
1
,k
2
,k
3
的线性方程组,其系数行列式[*]≠0,必有k
1
k
2
k
3
=0,故β,Aβ,A
2
β线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Fy4777K
0
考研数学二
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