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已知矩阵相似,求a,b的值及一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.
已知矩阵相似,求a,b的值及一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.
admin
2020-01-15
71
问题
已知矩阵
相似,求a,b的值及一个可逆矩阵P,使P
-1
AP=B.
选项
答案
因为A,B相似,所以|A|=|B|,且tr(A)=tr(B), [*] 故A的两个特征值为-1,-1,但 [*] 因此R(-E-A)=1,所以不能对角化. 设P=[*],满足P
-1
AP=B,即有AP=PB,从而 [*] 整理得 [*] 解得基础解系为[*] 所以[*],k
1
,k
2
为非零常数. 令k
1
=k
2
=1/2,则[*],所以可令[*],则有P
-1
AP=B 【错例分析】本题最常见错误即认为P
-1
AP就是将A相似对角化.事实上,由|λE—A|=0,解得λ=-1,是A的二重特征值,但R(-E-A)=R[*]-1,故A只有一个线性无关的特征向量,即A不能相似对角化.
解析
【思路探索】经验证,A不能相似对角化。故使用待定系数法求P.
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