设随机变量X～N(0，1)，求y=e3X+1的概率密度．

admin2019-07-10 68

问题设随机变量X～N(0，1)，求y=e^3X+1的概率密度．

选项

答案若X的概率密度为f_X(x)，随机变量Y=φ(X)的概率密度f_Y(y)的求法如下． (1)若φ’(x)＞0即y=φ(x)为单调增加函数，则 f_Y(Y)=f_X[φ^一1(y)][φ^一1(y)]’，其中X=φ^一1 (y)是y=φ(x)的反函数． (2)若φ’(x)＜0即y=φ(x)为单调减少函数，则 f_Y(y)=一f_X[φ^一1(y)][φ^一1(y)]’，其中x=φ^一1(y)为y=φ(x)的反函数．上述两种情况可合并为 f_Y(y)=f_X[φ^一1 (y)]| [φ^一1 (y)]’ ]．因X～N(0，1)，故X的概率密度为 [*] 一∞＜x＜+∞．因Y=e^3X+1 ，故y=e^3x+1为单调增加函数．而 [*] 故Y的概率密度函数为 [*]

解析

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考研数学三

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