设随机变量X～N(0，1)，求y=e3X+1的概率密度．

admin2019-07-10 80

问题设随机变量X～N(0，1)，求y=e^3X+1的概率密度．

选项

答案若X的概率密度为f_X(x)，随机变量Y=φ(X)的概率密度f_Y(y)的求法如下． (1)若φ’(x)＞0即y=φ(x)为单调增加函数，则 f_Y(Y)=f_X[φ^一1(y)][φ^一1(y)]’，其中X=φ^一1 (y)是y=φ(x)的反函数． (2)若φ’(x)＜0即y=φ(x)为单调减少函数，则 f_Y(y)=一f_X[φ^一1(y)][φ^一1(y)]’，其中x=φ^一1(y)为y=φ(x)的反函数．上述两种情况可合并为 f_Y(y)=f_X[φ^一1 (y)]| [φ^一1 (y)]’ ]．因X～N(0，1)，故X的概率密度为 [*] 一∞＜x＜+∞．因Y=e^3X+1 ，故y=e^3x+1为单调增加函数．而 [*] 故Y的概率密度函数为 [*]

解析

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考研数学三

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当x∈[0，1]时，由[*]积分得[*]而[*]由夹逼定理得[*]
设变换可把方程化简为求常数a．
设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．
设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=___________．
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在区间[0，a]上|f"(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．
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