设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f’(x)－f(x)＝a(x－1)．y＝f(x)，x＝0，x＝1，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

admin2017-12-31 83

问题设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f’(x)－f(x)＝a(x－1)．y＝f(x)，x＝0，x＝1，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

选项

答案由f’(x)－f(x)＝a(x－1)得 f(x)[a∫(x－1)[*]＝Ce^x－ax，由f(0)＝1得C＝1，故f(x)＝e^x－ax． V(a)＝π∫₀¹f²(x)dx＝π[*]，由V’(a)＝π(－2＋[*])得a＝3，因为V’’(a)＝[*]＞0，所以当a＝3时，旋转体的体积最小，故f(x)＝e^x－3x．

解析

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考研数学三

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