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设f(x)在[0,1]上连续且满足f(0)=1,f’(x)-f(x)=a(x-1).y=f(x),x=0,x=1,y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f(x).
设f(x)在[0,1]上连续且满足f(0)=1,f’(x)-f(x)=a(x-1).y=f(x),x=0,x=1,y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f(x).
admin
2017-12-31
31
问题
设f(x)在[0,1]上连续且满足f(0)=1,f’(x)-f(x)=a(x-1).y=f(x),x=0,x=1,y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f(x).
选项
答案
由f’(x)-f(x)=a(x-1)得 f(x)[a∫(x-1)[*]=Ce
x
-ax, 由f(0)=1得C=1,故f(x)=e
x
-ax. V(a)=π∫
0
1
f
2
(x)dx=π[*], 由V’(a)=π(-2+[*])得a=3,因为V’’(a)=[*]>0,所以当a=3时,旋转体的体积最小,故f(x)=e
x
-3x.
解析
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考研数学三
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