设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且试证：对任意实数k，在(a，b)内存在一点ξ，使得

admin2019-07-28 34

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且

试证：对任意实数k，在(a，b)内存在一点ξ，使得

选项

答案令F(x)=e^-kxf(x)．由题设知F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，不妨假定f(A)＞0，则[*] 而e^-kx＞0，故[*]由闭区间上连续函数的零点定理(介值定理)知，存在点c₁，c₂，使[*]于是F(x)在[c₁，c₂]上满足罗尔定理条件．由该定理知，在(c₁，c₂)内必存在一点ξ，使F’(ξ)=0(c¹＜ξ＜c²)，即F’(ξ)=e^-kξ[f’(ξ)一kf(ξ)]=0．而e^-kξ＞0，故 [*]

解析

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