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设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．
设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．
admin
2018-06-27
37
问题
设α
1
，α
2
，α
3
都是n维非零向量，证明：α
1
，α
2
，α
3
线性无关
对任何数s，t，α
1
+sα
3
，α
2
+tα
3
都线性无关．
选项
答案
“[*]”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用C矩阵法更加简单． α
1
+sα
3
，α
2
+tα
3
对α
1
，α
2
，α
3
的表示矩阵为 [*] 显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α
1
+sα
3
，α
2
+tα
3
的秩为2，线性无关． “[*]”在s=t=0时，得α
1
，α
2
线性无关，于是只要再证明α
3
不可用α
1
，α
2
线性表示．用反证法．如果α
3
可以用α
1
，α
2
线性表示，设 α
3
=c
1
α
1
+c
2
α
2
， 则因为α
3
不是零向量，c
1
，c
2
不能全为0．不妨设c
1
≠0，则有 c
1
(α
1
-[*]α
3
)+c
2
α
2
=0， 于是α
1
-[*]α
3
，α
2
线性相关，即当s=[*]，t=0时α
1
+sα
3
，α
2
+tα
3
相关，与条件矛盾．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Oek4777K
0
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