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设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( )
设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( )
admin
2017-01-14
57
问题
设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( )
选项
A、λE-A=λE-B。
B、A与B有相同的特征值和特征向量。
C、A和B都相似于一个对角矩阵。
D、对任意常数t,tE-A与tE-B相似。
答案
D
解析
因为由A与B相似不能推得A=B,所以选项A不正确。
相似矩阵具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,但不一定具有相同的特征向量,故选项B也不正确。
对于选项C,因为根据题设不能推知A,B是否相似于对角阵,故选项C也不正确。
综上可知选项D正确。事实上,因A与B相似,故存在可逆矩阵P,使
P
-1
AP=B,
于是 P
-1
(tE-A)P=tE-P
-1
AP=tE-B,
可见对任意常数t,矩阵tE-A与tE-B相似。所以应选D。
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考研数学一
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