设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )

admin2020-03-24 52

问题设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )

选项 A、若B=AQ，则A的列向量组与B的列向量组等价。
B、若B=PA，则A的行向量组与B的行向量组等价。
C、若B=PAQ，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。
D、若A的行(列)向量组与矩阵B的行(列)向量组等价，则矩阵A与B等价。

答案C

解析将等式B=AQ中的A，B按列分块，设A=(α₁，α₂，…，α_n)，B=(β₁，β₂，…，β_n)，则有(β₁，β₂，…，β_n)=(α₁，α₂，…，α_n)

。
表明向量组β₁，β₂，…，β_n可由向量组α₁，α₂，…，α_n线性表示。由于Q可逆，从而有A=BQ^T，即
(α₁，α₂，…，α_n)=(β₁，β₂，…，β_n)Q^-1，表明向量组α₁，α₂，…，α_n可由向量组β₁，β₂，…，β_n线性表示，因此这两个向量组等价，故A选项的命题正确。
类似地，对于PA=B，将A与B按行分块可得出A与B的行向量组等价，从而B选项的命题正确。
下例可表明C选项的命题不正确。
设A=

，则P，Q均为可逆矩阵，且
B=PAQ=

但B的行(列)向量组与A的行(列)向量组不等价，故选C。
对于选项D，若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A与B的秩相同，故矩阵A与B等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)。

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