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设向量组α1,α2,α3为R3的一个基,β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=α1+(k+1)α3. (I)证明向量组β1,β2,β3为R3的一个基; (Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求所有的
设向量组α1,α2,α3为R3的一个基,β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=α1+(k+1)α3. (I)证明向量组β1,β2,β3为R3的一个基; (Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求所有的
admin
2018-04-15
32
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
为R
3
的一个基,β
1
=2α
1
+2kα
3
,β
2
=2α
2
,β
3
=α
1
+(k+1)α
3
.
(I)证明向量组β
1
,β
2
,β
3
为R
3
的一个基;
(Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量ξ在基α
1
,α
2
,α
3
与基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标相同,并求所有的ξ.
选项
答案
将已知的线性表示式写成矩阵形式,得 (β
1
,β
2
,β
3
)=(2α
1
+2α
3
,2α
2
,α
1
+(k+1)α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)P其中矩阵P=[*],由于P的行列式|P|≠0,所以P可逆,故向量组β
1
,β
2
,β
3
(线性无关)可作为R
3
的基. (Ⅱ)解 设非零向量ξ在基α
1
,α
2
,α
3
与基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标(列)向量为x,则 ξ=(α
1
,α
2
,α
3
)x=(β
1
,β
2
,β
3
)X=(α
1
,α
2
,α
3
)Px 由此得(α
1
,α
2
,α
3
)Px一(α
1
,α
2
,α
3
)x=(α
1
,α
2
,α
3
)(Px一x)=(α
1
,α
2
,α
3
)(P—E)x=0 因为矩阵(α
1
,α
2
,α
3
)可逆,所以(P—E)x=0,其中E为3阶单位矩阵,因为x≠0,所以P—E是降秩矩阵,对P—E施行初等行变换: [*] 可见,当且仅当k=0时方程组(P—E)x=0有非零解,且所有非零解为 x=[*],c为任意非零常数 故在基α
1
,α
2
,α
3
与基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标相同的所有非零向量为 ξ=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=c(a
1
一a
s
),c为任意非零常数.
解析
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考研数学一
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