2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，α3为R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3． (I)证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基； (Ⅱ)当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的

设向量组α1，α2，α3为R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3． (I)证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基； (Ⅱ)当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的

admin2018-04-15  49
问题 设向量组α1，α2，α3为R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3．
(I)证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基；
(Ⅱ)当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ．
选项
答案将已知的线性表示式写成矩阵形式，得 (β1，β2，β3)=(2α1+2α3，2α2，α1+(k+1)α3)=(α1，α2，α3)P其中矩阵P=[*]，由于P的行列式｜P｜≠0，所以P可逆，故向量组β1，β2，β3(线性无关)可作为R3的基． (Ⅱ)解 设非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标(列)向量为x，则 ξ=(α1，α2，α3)x=(β1，β2，β3)X=(α1，α2，α3)Px 由此得(α1，α2，α3)Px一(α1，α2，α3)x=(α1，α2，α3)(Px一x)=(α1，α2，α3)(P—E)x=0 因为矩阵(α1，α2，α3)可逆，所以(P—E)x=0，其中E为3阶单位矩阵，因为x≠0，所以P—E是降秩矩阵，对P—E施行初等行变换： [*] 可见，当且仅当k=0时方程组(P—E)x=0有非零解，且所有非零解为 x=[*]，c为任意非零常数 故在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同的所有非零向量为 ξ=(α1，α2，α3)[*]=c(a1一as)，c为任意非零常数．
解析
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考研数学一

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