设向量组α1,α2,α3为R3的一个基,β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=α1+(k+1)α3. (I)证明向量组β1,β2,β3为R3的一个基; (Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求所有的

admin2018-04-15  29

问题 设向量组α1,α2,α3为R3的一个基,β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β31+(k+1)α3
(I)证明向量组β1,β2,β3为R3的一个基;
(Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求所有的ξ.

选项

答案将已知的线性表示式写成矩阵形式,得 (β1,β2,β3)=(2α1+2α3,2α2,α1+(k+1)α3)=(α1,α2,α3)P其中矩阵P=[*],由于P的行列式|P|≠0,所以P可逆,故向量组β1,β2,β3(线性无关)可作为R3的基. (Ⅱ)解 设非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标(列)向量为x,则 ξ=(α1,α2,α3)x=(β1,β2,β3)X=(α1,α2,α3)Px 由此得(α1,α2,α3)Px一(α1,α2,α3)x=(α1,α2,α3)(Px一x)=(α1,α2,α3)(P—E)x=0 因为矩阵(α1,α2,α3)可逆,所以(P—E)x=0,其中E为3阶单位矩阵,因为x≠0,所以P—E是降秩矩阵,对P—E施行初等行变换: [*] 可见,当且仅当k=0时方程组(P—E)x=0有非零解,且所有非零解为 x=[*],c为任意非零常数 故在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同的所有非零向量为 ξ=(α1,α2,α3)[*]=c(a1一as),c为任意非零常数.

解析
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