2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明r(AB)≤r(B)．

设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明r(AB)≤r(B)．

admin2016-10-20  31
问题 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明r(AB)≤r(B)．
选项
答案(1)设AB=C，C是m×s矩阵，对B，C均按行分块，记为 [*] 用分块矩阵乘法，得 [*] 即向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αn线性表出，那么由定理有 r(AB)=r(C)=r(β1，β2，…，βm)≤r(α1，α2，…，αn)=r(B)． (2)构造两个齐次线性方程组 ABx=0 ①； Bx=0 ②， 其中X=(x1，x2，…，xs)T． 由于方程组②的解必是方程组①的解，因此r(②的解向量)≤r(①的解向量)． 即s-r(B)≤s-r(AB)，从而r(AB)≤r(B)． (3)设r(B)=r，化B为等价标准形即有可逆矩阵P，Q，使 [*] 对m×n矩阵AP-1分块为(C1，C2)，其中C1是m×r矩阵，C2是m×(n-r)矩阵，则有 [*] 那么 r(AB)=r(ABQ)=r(C1，0)=r(C1)． 因为C1是m×r矩阵，故r(C1)≤r=r(B)．所以r(AB)≤r(B)．
解析
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考研数学三

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