设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明r(AB)≤r(B)．

admin2016-10-20 28

问题设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明r(AB)≤r(B)．

选项

答案(1)设AB=C，C是m×s矩阵，对B，C均按行分块，记为 [*] 用分块矩阵乘法，得 [*] 即向量组β₁，β₂，…，β_m可由向量组α₁，α₂，…，α_n线性表出，那么由定理有 r(AB)=r(C)=r(β₁，β₂，…，β_m)≤r(α₁，α₂，…，α_n)=r(B)． (2)构造两个齐次线性方程组 ABx=0 ①； Bx=0 ②，其中X=(x₁，x₂，…，x_s)^T．由于方程组②的解必是方程组①的解，因此r(②的解向量)≤r(①的解向量)．即s-r(B)≤s-r(AB)，从而r(AB)≤r(B)． (3)设r(B)=r，化B为等价标准形即有可逆矩阵P，Q，使 [*] 对m×n矩阵AP^-1分块为(C₁，C₂)，其中C₁是m×r矩阵，C₂是m×(n-r)矩阵，则有 [*] 那么 r(AB)=r(ABQ)=r(C₁，0)=r(C₁)．因为C₁是m×r矩阵，故r(C₁)≤r=r(B)．所以r(AB)≤r(B)．

解析

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考研数学三

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