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设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,证明r(AB)≤r(B).
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,证明r(AB)≤r(B).
admin
2016-10-20
38
问题
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,证明r(AB)≤r(B).
选项
答案
(1)设AB=C,C是m×s矩阵,对B,C均按行分块,记为 [*] 用分块矩阵乘法,得 [*] 即向量组β
1
,β
2
,…,β
m
可由向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性表出,那么由定理有 r(AB)=r(C)=r(β
1
,β
2
,…,β
m
)≤r(α
1
,α
2
,…,α
n
)=r(B). (2)构造两个齐次线性方程组 ABx=0 ①; Bx=0 ②, 其中X=(x
1
,x
2
,…,x
s
)
T
. 由于方程组②的解必是方程组①的解,因此r(②的解向量)≤r(①的解向量). 即s-r(B)≤s-r(AB),从而r(AB)≤r(B). (3)设r(B)=r,化B为等价标准形即有可逆矩阵P,Q,使 [*] 对m×n矩阵AP
-1
分块为(C
1
,C
2
),其中C
1
是m×r矩阵,C
2
是m×(n-r)矩阵,则有 [*] 那么 r(AB)=r(ABQ)=r(C
1
,0)=r(C
1
). 因为C
1
是m×r矩阵,故r(C
1
)≤r=r(B).所以r(AB)≤r(B).
解析
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考研数学三
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