2. 考研
  3. (1)设f(x)在[0，2]上可导，且|f’(x)|≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：|f(0)|+|f(2)|≤2M． (2)设f(x)在[a，b]上二阶可导，|f"(x)|≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：|f

(1)设f(x)在[0，2]上可导，且|f’(x)|≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：|f(0)|+|f(2)|≤2M． (2)设f(x)在[a，b]上二阶可导，|f"(x)|≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：|f

admin2019-08-23  12
问题 (1)设f(x)在[0，2]上可导，且|f’(x)|≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：|f(0)|+|f(2)|≤2M．
    (2)设f(x)在[a，b]上二阶可导，|f"(x)|≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a)．
选项
答案(1)由题意，存在c∈(0，2)，使得f(c)=0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0,c)，ξ2∈(c,2)使得 f(c)一f(0)=f’(ξ1)c， f(2)一f(c)=f’(ξ2)(2一c)， 于是|f(0)|=|f’(ξ1)|c≤Mc，|f(2)|=|f’(ξ2)|(2一c)≤M(2一c)， 故|f(0)|+|f(2)|≤2M． (2)由题意，存在c∈(a，b)，使得f(c)为最小值，从而f’(c)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得 f’(c)一f’(a)=f"(ξ1)(c一a)， f’(b)一f’(c)=f"(ξ2)(b一c)， 于是|f’(a)|=f"(ξ1)|(c一a)≤M(c一a)， |f’(b)|=|f"(ξ2)|(b一c)≤M(b—c)， 故|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a)．
解析
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考研数学一

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