(1)设f(x)在[0,2]上可导,且|f’(x)|≤M,又f(x)在(0,2)内至少有一个零点,证明:|f(0)|+|f(2)|≤2M. (2)设f(x)在[a,b]上二阶可导,|f"(x)|≤M,又f(x)在(a,b)内能取到最小值,证明:|f

admin2019-08-23  22

问题 (1)设f(x)在[0,2]上可导,且|f’(x)|≤M,又f(x)在(0,2)内至少有一个零点,证明:|f(0)|+|f(2)|≤2M.
    (2)设f(x)在[a,b]上二阶可导,|f"(x)|≤M,又f(x)在(a,b)内能取到最小值,证明:|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).

选项

答案(1)由题意,存在c∈(0,2),使得f(c)=0, 由拉格朗日中值定理,存在ξ1∈(0,c),ξ2∈(c,2)使得 f(c)一f(0)=f’(ξ1)c, f(2)一f(c)=f’(ξ2)(2一c), 于是|f(0)|=|f’(ξ1)|c≤Mc,|f(2)|=|f’(ξ2)|(2一c)≤M(2一c), 故|f(0)|+|f(2)|≤2M. (2)由题意,存在c∈(a,b),使得f(c)为最小值,从而f’(c)=0,由拉格朗日中值定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得 f’(c)一f’(a)=f"(ξ1)(c一a), f’(b)一f’(c)=f"(ξ2)(b一c), 于是|f’(a)|=f"(ξ1)|(c一a)≤M(c一a), |f’(b)|=|f"(ξ2)|(b一c)≤M(b—c), 故|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a).

解析
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