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如图1-3-2所示,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 ∫03(x2+x)f″′(x)dx。
如图1-3-2所示,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 ∫03(x2+x)f″′(x)dx。
admin
2018-12-29
51
问题
如图1-3-2所示,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l
1
与l
2
分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
∫
0
3
(x
2
+x)f″′(x)dx。
选项
答案
由f(x)三阶连续可导,且点(3,2)是其拐点可知,f(3)=2,f″(3)=0;由直线l
1
,l
2
是曲线C在点(0,0),(3,2)处的切线,且交点为(2,4)可知,f(0)=0,切线l
1
,l
2
的斜率分别为k
l
1
=[*]=2,k
l
2
=[*]= —2,即f′(0)=2,f′(3)= —2。于是,由分部积分法可得 ∫
0
3
(x
2
+x)f″′(x)dx=∫
0
3
(x
2
+x)df″(x)=[*]—∫
0
3
f″(x)(2x+1)dx = —∫
0
3
(2x+1)df′(x)=[*]+2∫
0
3
f′(x)dx=20。
解析
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0
考研数学一
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