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设f(u,v)具有连续偏导数,且满足fu’(u,v)+fv’(u,v)=uv。求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
设f(u,v)具有连续偏导数,且满足fu’(u,v)+fv’(u,v)=uv。求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
admin
2021-11-09
33
问题
设f(u,v)具有连续偏导数,且满足f
u
’(u,v)+f
v
’(u,v)=uv。求y(x)=e
-2x
f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
选项
答案
由y(x)=e
一2x
f(x,x),两边对x求导有, y’=一2e
一2x
f(x,x)+e
一2x
f
1
’(x,x)+e
一2x
y
2
’(x,x) =一2e
一2x
f(x,x)+e
一2x
[f
1
’(x,x)+f
2
’(x,x)] =一2y+e
一2x
[f
1
’(x,x)+f
2
’(x,x)]。 已知f
u
’(u,v)+f
v
’(u,v)=uv,即f
1
’(u,v)+f
2
’(u,v)=uv,则f
1
’(u,v)+f
2
’(x,x)=x
2
。 因此,y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x
2
e
-2x
。由一阶线性微分方程的通解公式得 [*]
解析
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考研数学二
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