求一个正交变换化下列二次型成标准形： f=2x12+322+3x22+4x2x3．

admin2020-11-13 38

问题求一个正交变换化下列二次型成标准形：
f=2x₁²+3₂²+3x₂²+4x₂x₃．

选项

答案f的矩阵A=[*]，｜λE-A｜=[*]=(λ一2)(λ一5)(λ一1)，解得A的特征值为λ₁=2，λ₂=5，λ₃=1． ①当λ₁=2时，解方程组(2E—A)x=0，得基础解系为α₁=(1，0，0)^T； ②当λ₂=5时，解方程组(5E—A)x=0，得基础解系为α₂=(0，1，1)^T； ③当λ₃=1时，解方程组(E一A)x=0，得基础解系为α₃=(0，1，一1)^T．最后将α₁，α₂，α₃单位化得β₁=(1，0，0)^T，β₂=[*] 因此所求正交变换为[*] 因此f的标准形为f=2y₁²+5y₂²+y₃²．

解析

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考研数学三

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设函数f(x)具有连续的一阶导数，且满足求f(x)的表达式．
设有两条抛物线y=nx2+1／n和y=(n+1)x2+1／(n+1)．记它们交点的横坐标的绝对值为an．求级数的和．
设{an}，{bn}，{cn}为非负数列，且则必有()．
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[2010年]设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且[*]证明存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．
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设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该
将数字1，2，…，n随机地排列成新次序，以X表示经重排后还在原位置上的数字的个数．计算EX和DX．

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