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  3. 设A，B为同阶可逆矩阵，则( )．

设A，B为同阶可逆矩阵，则( )．

admin2019-03-22  46
问题 设A，B为同阶可逆矩阵，则(    )．
选项 A、AB=BA
B、存在可逆矩阵P，使P-1AP=B
C、存在可逆矩阵C，使CTAC=B
D、存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B
答案D
解析 解一  因A，B为同阶可逆矩阵，故其秩相等，因而A与B等价，再由命题2．2．5．3(4)知，存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B，故仅(D)入选．
    解二  因方阵A可逆，则A与同阶单位矩阵E等价(见命题2．2．5．5(1))，则存在可逆矩阵P，使PA=E．同理，由于B可逆，故存在可逆矩阵M，使BM=E(见命题2．2．5．5(3))，故PA=E=BM，因而．PALM-1=B．令M－1=Q，则P，Q可逆，使PAQ=B，于是选项(D)正确．
    解三  A，B为同阶可逆矩阵，则由解一知，它们都等价于同阶单位矩阵．由等价的传递性和对称性知，(D)成立．但因A，B等价，其特征值可以不一样，因而未必相似，故(B)不成立．另外，两个可逆矩阵所对应的二次型的正、负惯性指数可以不同，因此它们也未必合同，故(C)也不对．因为A，B等价，即A与B等秩，这只是A，B相似的必要条件，但非充分条件．同样也只是A与B合同的必要条件，但非充分条件．因矩阵乘法不满足交换律，故(A)也不成立．
    解四  因A，B为同阶可逆矩阵，故A，B的秩相等，则A与B等价．因而A可以通过有限次初等行或列变换为B，而这些初等行或列变换对应的初等矩阵的乘积分别用P与Q表示，则P，Q可逆，且使PAQ=B．仅(D)入选．
    注：命题2．2．5．3  设A，B为m×n阶矩阵，下述条件之一为A与B等价的充要条件．(4)存在两个可逆矩阵P与Q，使B=PAQ．
        命题2．2．5．5  (1)方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵等价．(3)方阵A可逆的充要条件是存在可逆矩阵P，使PA－E，或存在可逆矩阵Q，使AQ－E．
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考研数学三

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