设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形； (2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．

admin2018-05-17 46

问题设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A²＝A(A称为幂等阵)．
求：(1)二次型XTAX的标准形；
(2)｜E＋A＋A²＋…＋Aⁿ｜的值．

选项

答案(1)因为A²＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值为O或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)＝r得A的特征值为λ＝1(r重)，λ＝0(n－r重)，则二次型X^TAX的标准形为y₁²＋y₂²＋…＋y_r²． (2)令B＝E＋A＋A²＋…＋Aⁿ，则B的特征值为λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故｜E＋A＋A²＋…＋Aⁿ｜＝｜B｜＝(n＋1)^r．

解析

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(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ab(x)dx＝f(η)(b－a)；(2)若函数ψ(x)具有二阶导数，且满足ψ(2)＞ψ(1)，ψ(2)＞∫abψ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)
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