设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形； (2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．

admin2018-05-17 54

问题设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A²＝A(A称为幂等阵)．
求：(1)二次型XTAX的标准形；
(2)｜E＋A＋A²＋…＋Aⁿ｜的值．

选项

答案(1)因为A²＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值为O或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)＝r得A的特征值为λ＝1(r重)，λ＝0(n－r重)，则二次型X^TAX的标准形为y₁²＋y₂²＋…＋y_r²． (2)令B＝E＋A＋A²＋…＋Aⁿ，则B的特征值为λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故｜E＋A＋A²＋…＋Aⁿ｜＝｜B｜＝(n＋1)^r．

解析

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考研数学二

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设二二次型f(x1，x2，x3)：XTAX=ax12+2x22+(-232)+2bx1x3(b＞0)，其中二：次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出
设f(x)∈[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1，证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abφ(x)dx]．
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(2005年试题，17)如图1—3—1所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)，设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
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已知三元二次型xTAx的平方项系数均为Ω设α=(1，2，一1)T且满足Aα=2α．求该二次型表达式；

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