已知线性方程组 (1)a，b，c满足何种关系时，方程组仅有零解? (2)a，b，c满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解．

admin2019-08-12 60

问题已知线性方程组

(1)a，b，c满足何种关系时，方程组仅有零解?
(2)a，b，c满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解．

选项

答案方程组的系数行列式[*] (1)当a≠b，b≠c，c≠a时，｜A｜≠0，方程组仅有零解． (2)下面分四种情况： ①当a=b≠c时，同解方程组为[*] 方程组有无穷多组解，全部解为x=k₁(1，一1，0)^T，其中k₁为任意常数． ②当a=c≠b时，同解方程组为[*]方程组有无穷多组解，全部解为x=k₂(1，0，一1)^T，其中k₂为任意常数． ③当b=c≠a时，同解方程组为[*]方程组有无穷多组解，全部解为x=k₃(0，1，一1)^T，其中k₃为任意常数． ④当a=b=c时，同解方程组为x₁+x₂+x₃=0，方程组有无穷多组解，全部解为x=k₄(一1，1，0)^T+k₅(一1，0，1)^T，其中k₄，k₅为任意常数．

解析本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法，行列式的计算，基础解系的求法及分情况讨论的能力．
当方程组的系数行列式｜A｜≠0时，方程组仅有零解．｜A｜=0时，方程组有非零解，但要考虑到使得｜A｜=0的a，b，c的所有可能的情况．

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考研数学二

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