设A是n阶实对称矩阵，证明： (1)存在实数c，使对一切X∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

admin2019-08-06 93

问题设A是n阶实对称矩阵，证明：
(1)存在实数c，使对一切X∈Rⁿ，有｜χ^TAχ｜≤cχ^Tχ．
(2)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜)，则有正交变换χ＝Py，使χ^TAχ＝[*]λ_iy_i²，且y^Ty＝χ^Tχ，故｜χ^TAχ｜＝[*]＝cy^Ty＝cχ^Tχ (2)因为(A＋aE)^T＝A＋aE，所以A＋aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n则A＋aE的全部特征值为λ₁＋a，…，λ_n＋a，若取a＝max{｜λ₁｜＋1，…，｜λ_n｜＋1}，则λ_i＋a≥λ_i＋｜λ_i｜＋1≥1，所以A＋aE正定．

解析

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考研数学三

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设A是n阶实对称矩阵，证明： (1)存在实数c，使对一切X∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

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