(2010年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )

admin2018-07-24 53

问题 (2010年)设y₁，y₂是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常λ，μ使λy₁+μy₂是该方程的解，λy₁－μy₂是该方程对应的齐次方程的解，则( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案A

解析由于λy₁+μy₂为方程y’+p(x)y=q(x)的解，则
(λy₁+μy₂)’+p(x)(λy₁+μy₂)=q(x)
即 λ(y₁’+p(x)y₁)+μ(y₂’+p(x)y₂)=q(x)
λq(x)+μq(x)=q(x)
λ+μ=1
由于λy₁－μy₂为方程y’+p(x)y=0的解，则
(λy₁－μy₂)’+p(x)(λy₁－μy₂)=0
λ(y₁’+p(x)y₁)－μ(y₂’+p(x)y₂)=q(x)
λq(x)－μq(x)=q(x)
λ－μ=1
由(1)式和(2)式解得

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