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若四次方程a。x4+a1x3+a2x+a3x+a4=0有四个不同的实根,试证明4a。x3 +3a1x2+2a2x+a3=0的所有根皆为实根.
若四次方程a。x4+a1x3+a2x+a3x+a4=0有四个不同的实根,试证明4a。x3 +3a1x2+2a2x+a3=0的所有根皆为实根.
admin
2021-11-09
32
问题
若四次方程a。x
4
+a
1
x
3
+a
2
x+a
3
x+a
4
=0有四个不同的实根,试证明4a。x
3
+3a
1
x
2
+2a
2
x+a
3
=0的所有根皆为实根.
选项
答案
证明:令f(x)=a。x
4
+a
1
x
3
+a
2
x
2
+a
3
x+a
4
,且四次方程f(x)一0的四个实根为x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,即f(x
4
)=0(i=1,2,3,4). 又∵f(x)在(-∞,+∞)上连续且可导 ∴f(x)在[x
i
,x
i+1
](i=1,2,3)上满足罗尔定理条件. ∴至少存在一点ε
i
∈[x
i
,x
i+1
],使fˊ(ε
i
)=0(i=1,2,3). 又∵fˊ(x)=4a。x。+3a
1
x
2
+2a
2
x+a
3
∵fˊ(x)仅有三个根 ∴4a。x
3
+3a
1
x
2
+2a
2
x+a
3
=0的所有根均为实根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/55y4777K
0
考研数学二
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