2. 考研
  3. 若四次方程a。x4＋a1x3＋a2x＋a3x＋a4＝0有四个不同的实根，试证明4a。x3 ＋3a1x2＋2a2x＋a3＝0的所有根皆为实根．

若四次方程a。x4＋a1x3＋a2x＋a3x＋a4＝0有四个不同的实根，试证明4a。x3 ＋3a1x2＋2a2x＋a3＝0的所有根皆为实根．

admin2021-11-09  49
问题 若四次方程a。x4＋a1x3＋a2x＋a3x＋a4＝0有四个不同的实根，试证明4a。x3
＋3a1x2＋2a2x＋a3＝0的所有根皆为实根．
选项
答案证明：令f(x)＝a。x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，且四次方程f(x)一0的四个实根为x1，x2，x3，x4，即f(x4)＝0(i＝1，2，3，4)． 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上连续且可导 ∴f(x)在[xi，xi＋1](i＝1，2，3)上满足罗尔定理条件． ∴至少存在一点εi∈[xi，xi＋1]，使fˊ(εi)＝0(i＝1，2，3)． 又∵fˊ(x)＝4a。x。＋3a1x2＋2a2x＋a3 ∵fˊ(x)仅有三个根 ∴4a。x3＋3a1x2＋2a2x＋a3＝0的所有根均为实根．
解析
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考研数学二

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