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已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)T满足Aα=2α。 (Ⅰ)求xTAx的表达式; (Ⅱ)求作正交变换x=Qy,把xTAx化为标准二次型。
已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)T满足Aα=2α。 (Ⅰ)求xTAx的表达式; (Ⅱ)求作正交变换x=Qy,把xTAx化为标准二次型。
admin
2018-11-16
27
问题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)
T
满足Aα=2α。
(Ⅰ)求x
T
Ax的表达式;
(Ⅱ)求作正交变换x=Qy,把x
T
Ax化为标准二次型。
选项
答案
(Ⅰ)设A=[*],则条件Aα=2α即 [*] 得2a-b=2,a-c=4,b+2c=-2,解出a=b=2,c=-2。此二次型为4x
1
x
2
+4x
1
x
3
-4x
2
x
3
。 (Ⅱ)先求A的特征值 [*] 于是A的特征值就是2,2,-4,再求单位正交特征向量组:属于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解。[*]得(A-2E)x=0的同解方程组:x
1
- x
2
-x
3
=0。 显然β
1
=(1,1,0)
T
是一个解,设第二个解为β
2
=(1,-1,c)
T
(这样的设定保证了两个解是正交的!),代入方程得c=2,得到属于特征值2的两个正交的特征向量β
1
,β
2
,再把它们单位化:记[*],属于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解。求出β
3
=(1,-1,-1)
T
是一个解,单位化:记[*],则η
1
,η
2
,η
3
是A的单位正交特征向量组,特征值依次为2,2,-4。作正交矩阵Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则Q
-1
AQ是对角矩阵,对角线上的元素为2,2,-4。作正交变换x=Qy,它把f(x
1
,x
2
,x
3
)化为2y
1
2
+2y
2
2
-4y
3
2
。
解析
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考研数学三
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