2. 考研
  3. 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，-1)T满足Aα=2α。 (Ⅰ)求xTAx的表达式； (Ⅱ)求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型。

已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，-1)T满足Aα=2α。 (Ⅰ)求xTAx的表达式； (Ⅱ)求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型。

admin2018-11-16  23
问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，-1)T满足Aα=2α。
(Ⅰ)求xTAx的表达式；
(Ⅱ)求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型。
选项
答案(Ⅰ)设A=[*]，则条件Aα=2α即 [*] 得2a-b=2，a-c=4，b+2c=-2，解出a=b=2，c=-2。此二次型为4x1x2+4x1x3-4x2x3。 (Ⅱ)先求A的特征值 [*] 于是A的特征值就是2，2，-4，再求单位正交特征向量组：属于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解。[*]得(A-2E)x=0的同解方程组：x1- x2-x3=0。 显然β1=(1，1，0)T是一个解，设第二个解为β2=(1，-1，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的！)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2，再把它们单位化：记[*]，属于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解。求出β3=(1，-1，-1)T是一个解，单位化：记[*]，则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，-4。作正交矩阵Q=(η1，η2，η3)，则Q-1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，-4。作正交变换x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22-4y32。
解析
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考研数学三

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