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设α1,α2,…,αn是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
设α1,α2,…,αn是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
admin
2020-06-05
45
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n
是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
选项
答案
必要性 设a为任一n维向量.因为α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,而α
1
,α
2
,…,α
n/sub>,α是n+1个n维向量,是线性相关的,所以α能由α
1
,α
2
,…,α
n
线性表示,且表示式是唯一的. 充分性 已知任一n维向量都可由α
1
,α
2
,…,α
n
线性表示,故单位坐标向量组e
1
,e
2
,…,e
n
能由α
1
,α
2
,…,α
n
线性表示,于是有 n≤R(e
1
,e
2
,…,e
n
)≤R(α
1
,α
2
,…,α
n
)≤n 即R(α
1
,α
2
,…,α
n
)=n,所以α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/58v4777K
0
考研数学一
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