设α1,α2,…,αn是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.

admin2020-06-05  28

问题 设α1,α2,…,αn是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.

选项

答案必要性 设a为任一n维向量.因为α1,α2,…,αn线性无关,而α1,α2,…,αn/sub>,α是n+1个n维向量,是线性相关的,所以α能由α1,α2,…,αn线性表示,且表示式是唯一的. 充分性 已知任一n维向量都可由α1,α2,…,αn线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,…,en能由α1,α2,…,αn线性表示,于是有 n≤R(e1,e2,…,en)≤R(α1,α2,…,αn)≤n 即R(α1,α2,…,αn)=n,所以α1,α2,…,αn线性无关.

解析
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