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设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X1,X2,X3,…,Xn是取自总体X的一个简单随机样本,试求: (Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量; (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量,为什么?
设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X1,X2,X3,…,Xn是取自总体X的一个简单随机样本,试求: (Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量; (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量,为什么?
admin
2019-11-02
31
问题
设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X
1
,X
2
,X
3
,…,X
n
是取自总体X的一个简单随机样本,试求:
(Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量
;
(Ⅱ)
是否为θ的无偏估计量,为什么?
选项
答案
(Ⅰ)似然函数 [*] 由于函数L在[*]处间断,当[*]时,函数L=0。当[*]是θ的单调减函数,因此当[*]时,L达到最大值,于是θ的最大似然估计量为[*][*] (Ⅱ)为求[*]的期望值,先求[*]的分布。由于总体X服从[0,θ]上的均匀分布,因此X
i
(i=1,2,…,n)也服从[0,θ]上的均匀分布。其分布函数为 [*] 概率密度为 [*] 记[*]的分布函数为G(x),密度函数为g(x),则当x<0时,G(x)=0;当x>θ时,G(x)=1;当0≤x≤θ时, [*] 由于X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立,于是有 [*] 因此[*]不是参数θ的无偏估计量。
解析
本题考查参数估计。利用似然函数的结果进行讨论,似然函数在
处是间断的,因此对其两端进行讨论,找出似然函数的最大值。根据
的概率分布函数求概率密度;再根据
,比较
的大小,从而判断其无偏性。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5FS4777K
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考研数学一
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