已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2． (1)求实数a的值； (2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．

admin2021-01-19 34

问题已知

，二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x^T(A^TA)x的秩为2．
(1)求实数a的值；
(2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．

选项

答案(1)由f(x₁，x₂，x₃)＝x^T(A^TA)x的秩为2，即r(A^TA)＝2，于是r(A)＝2，因此A的任意3阶子式都为0．故 [*]＝1＋n＝0，得a＝－1． (2)当a＝－1时，[*] [*] ＝λ(λ－2)(λ－6)．知A^TA有特征值λ₁＝0， λ₂＝2，λ₃＝6．由[*]，得A^TA的对应于特征值λ₁＝0的特征向量为：[*]；由[*]，得A^TA的对应于特征值λ₂＝2的特征向量为：[*]；由[*]，得A^TA的对应于特征值λ₃＝6的特征向量为：[*]；将α₁，α₂，α₃单位化得：[*]。令Q＝(η₁，η₂，η₃)，则Q为正交矩阵，且正交变换x＝Qy将f化为标准形f＝2y₂²＋6y₃²．

解析 [分析]第一问利用秩的结论r(A^TA)＝r(A)简化计算，第二问是一个常规的计算题．
[评注]本题若先计算A^TA，再由r(A^TA)＝2求a的值，则计算量较大．

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考研数学二

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