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  3. 已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2． (1)求实数a的值； (2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．

已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2． (1)求实数a的值； (2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．

admin2021-01-19  61
问题 已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2．
    (1)求实数a的值；
    (2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．
选项
答案(1)由f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2，即r(ATA)＝2，于是r(A)＝2，因此A的任意3阶子式都为0．故 [*]＝1＋n＝0，得a＝－1． (2)当a＝－1时，[*] [*] ＝λ(λ－2)(λ－6)． 知ATA有特征值λ1＝0， λ2＝2，λ3＝6． 由[*]， 得ATA的对应于特征值λ1＝0的特征向量为：[*]； 由[*]， 得ATA的对应于特征值λ2＝2的特征向量为：[*]； 由[*]， 得ATA的对应于特征值λ3＝6的特征向量为：[*]； 将α1，α2，α3单位化得：[*]。 令Q＝(η1，η2，η3)，则Q为正交矩阵，且正交变换x＝Qy将f化为标准形f＝2y22＋6y32．
解析 [分析]第一问利用秩的结论r(ATA)＝r(A)简化计算，第二问是一个常规的计算题．
[评注]本题若先计算ATA，再由r(ATA)＝2求a的值，则计算量较大．
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考研数学二

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