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已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2． (1)求实数a的值； (2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．
已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2． (1)求实数a的值； (2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．
admin
2021-01-19
40
问题
已知
，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)＝x
T
(A
T
A)x的秩为2．
(1)求实数a的值；
(2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．
选项
答案
(1)由f(x
1
，x
2
，x
3
)＝x
T
(A
T
A)x的秩为2，即r(A
T
A)＝2，于是r(A)＝2，因此A的任意3阶子式都为0．故 [*]＝1＋n＝0，得a＝－1． (2)当a＝－1时，[*] [*] ＝λ(λ－2)(λ－6)． 知A
T
A有特征值λ
1
＝0， λ
2
＝2，λ
3
＝6． 由[*]， 得A
T
A的对应于特征值λ
1
＝0的特征向量为：[*]； 由[*]， 得A
T
A的对应于特征值λ
2
＝2的特征向量为：[*]； 由[*]， 得A
T
A的对应于特征值λ
3
＝6的特征向量为：[*]； 将α
1
，α
2
，α
3
单位化得：[*]。 令Q＝(η
1
，η
2
，η
3
)，则Q为正交矩阵，且正交变换x＝Qy将f化为标准形f＝2y
2
2
＋6y
3
2
．
解析
[分析]第一问利用秩的结论r(A
T
A)＝r(A)简化计算，第二问是一个常规的计算题．
[评注]本题若先计算A
T
A，再由r(A
T
A)＝2求a的值，则计算量较大．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5V84777K
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考研数学二
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