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已知,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. (1)求实数a的值; (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
已知,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. (1)求实数a的值; (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
admin
2021-01-19
38
问题
已知
,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2.
(1)求实数a的值;
(2)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
选项
答案
(1)由f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2,即r(A
T
A)=2,于是r(A)=2,因此A的任意3阶子式都为0.故 [*]=1+n=0,得a=-1. (2)当a=-1时,[*] [*] =λ(λ-2)(λ-6). 知A
T
A有特征值λ
1
=0, λ
2
=2,λ
3
=6. 由[*], 得A
T
A的对应于特征值λ
1
=0的特征向量为:[*]; 由[*], 得A
T
A的对应于特征值λ
2
=2的特征向量为:[*]; 由[*], 得A
T
A的对应于特征值λ
3
=6的特征向量为:[*]; 将α
1
,α
2
,α
3
单位化得:[*]。 令Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则Q为正交矩阵,且正交变换x=Qy将f化为标准形f=2y
2
2
+6y
3
2
.
解析
[分析]第一问利用秩的结论r(A
T
A)=r(A)简化计算,第二问是一个常规的计算题.
[评注]本题若先计算A
T
A,再由r(A
T
A)=2求a的值,则计算量较大.
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考研数学二
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