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设A为三阶实对称矩阵,其特征值为λ1=0,λ2=λ3=1,α1,α2为A的两个不同特征向量,且A(α1+α2)=α2. (Ⅰ)证明:α1,α2正交. (Ⅱ)求AX=α2的通解.
设A为三阶实对称矩阵,其特征值为λ1=0,λ2=λ3=1,α1,α2为A的两个不同特征向量,且A(α1+α2)=α2. (Ⅰ)证明:α1,α2正交. (Ⅱ)求AX=α2的通解.
admin
2019-06-29
76
问题
设A为三阶实对称矩阵,其特征值为λ
1
=0,λ
2
=λ
3
=1,α
1
,α
2
为A的两个不同特征向量,且A(α
1
+α
2
)=α
2
.
(Ⅰ)证明:α
1
,α
2
正交.
(Ⅱ)求AX=α
2
的通解.
选项
答案
(Ⅰ)若α
1
,α
2
是属于特征值λ
1
=0的特征向量,则A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=0≠α
2
,矛盾; 若α
1
,α
2
是属于特征值λ
2
=λ
3
=1的特征向量,则A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+α
2
=α
1
+α
2
≠α
2
,矛盾, 从而α
1
,α
2
是分属于两个不同特征值对应的特征向量, 因为A是实对称矩阵,所以α
1
,α
2
正交. (Ⅱ)因为A相似于[*],所以r(A)=2,方程组AX=0基础解系含一个线性无关的解向量. 若α
1
是属于特征值1的特征向量,α
2
为属于特征值0的特征向量, 此时A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
≠α
2
,矛盾, 从而α
1
是属于特征值0的特征向量,α
2
是属于特征值1的特征向量, 由Aα
1
=0,Aα
2
=α
2
得AX=α
2
的通解为X=kα
1
+α
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LOV4777K
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考研数学二
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