2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝0，λ2＝λ3＝1，α1，α2为A的两个不同特征向量，且A(α1＋α2)＝α2． (Ⅰ)证明：α1，α2正交． (Ⅱ)求AX＝α2的通解．

设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝0，λ2＝λ3＝1，α1，α2为A的两个不同特征向量，且A(α1＋α2)＝α2． (Ⅰ)证明：α1，α2正交． (Ⅱ)求AX＝α2的通解．

admin2019-06-29  61
问题 设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝0，λ2＝λ3＝1，α1，α2为A的两个不同特征向量，且A(α1＋α2)＝α2．
    (Ⅰ)证明：α1，α2正交．
    (Ⅱ)求AX＝α2的通解．
选项
答案(Ⅰ)若α1，α2是属于特征值λ1＝0的特征向量，则A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝0≠α2，矛盾； 若α1，α2是属于特征值λ2＝λ3＝1的特征向量，则A(α1＋α2)＝Aα1＋α2＝α1＋α2≠α2，矛盾， 从而α1，α2是分属于两个不同特征值对应的特征向量， 因为A是实对称矩阵，所以α1，α2正交． (Ⅱ)因为A相似于[*]，所以r(A)＝2，方程组AX＝0基础解系含一个线性无关的解向量． 若α1是属于特征值1的特征向量，α2为属于特征值0的特征向量， 此时A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝α1≠α2，矛盾， 从而α1是属于特征值0的特征向量，α2是属于特征值1的特征向量， 由Aα1＝0，Aα2＝α2得AX＝α2的通解为X＝kα1＋α2．
解析
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考研数学二

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