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设n阶矩阵A非奇异(n≥2),A*是其伴随矩阵,则下列选项中,正确的是( ).
设n阶矩阵A非奇异(n≥2),A*是其伴随矩阵,则下列选项中,正确的是( ).
admin
2020-06-05
38
问题
设n阶矩阵A非奇异(n≥2),A
*
是其伴随矩阵,则下列选项中,正确的是( ).
选项
A、(A
*
)
*
=|A|
n﹣1
A
B、(A
*
)
*
=|A|
n+1
A
C、(A
*
)
*
=|A|
n﹣2
A
D、(A
*
)
*
=|A|
n+2
A
答案
C
解析
方法一
取A=
,则A
*
=
,(A
*
)
*
=
=A.此为n=2的情形,比较4个备选项(令n=2),显然只有(C)正确.
方法二
因为A
﹣1
=
,即A
*
=|A|A
﹣1
.故有(A
*
)
*
=|A
*
|(A
*
)
﹣1
=||A|A
﹣1
|(|A|A
﹣1
)
﹣1
=|A|
n
|A|
﹣1
(A
﹣1
)
﹣1
=|A|
n﹣2
A
因而(C)正确(上述推演中利用了结论|A
﹣1
|=|A|
﹣1
以及(kA)
﹣1
=
,k≠0).
方法三
因为AA
*
=A
*
A=|A|E,所以A
*
(A
*
)
*
=|A
*
|E=|A|
n﹣1
E.(因|A
*
|=|A|
n﹣1
).
再用A左乘上式两端,得(AA
*
)(A
*
)
*
=|A|
n﹣1
A,即|A|(A
*
)
*
=|A|
n﹣1
A.而由A非奇异知|A|≠0,于是得(A
*
)
*
=|A|
n﹣2
A.
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考研数学一
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