2. 考研
  3. 设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是其伴随矩阵，则下列选项中，正确的是( )．

设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是其伴随矩阵，则下列选项中，正确的是( )．

admin2020-06-05  38
问题 设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是其伴随矩阵，则下列选项中，正确的是(    )．
选项 A、(A*)*＝｜A｜n﹣1A
B、(A*)*＝｜A｜n＋1A
C、(A*)*＝｜A｜n﹣2A
D、(A*)*＝｜A｜n＋2A
答案C
解析 方法一
取A＝，则A*＝，(A*)*＝＝A．此为n＝2的情形，比较4个备选项(令n＝2)，显然只有(C)正确．
方法二
因为A﹣1＝，即A*＝｜A｜A﹣1．故有(A*)*＝｜A*｜(A*)﹣1＝｜｜A｜A﹣1｜(｜A｜A﹣1)﹣1＝｜A｜n｜A｜﹣1(A﹣1)﹣1＝｜A｜n﹣2A
因而(C)正确(上述推演中利用了结论｜A﹣1｜＝｜A｜﹣1以及(kA)﹣1＝，k≠0)．
方法三
因为AA*＝A*A＝｜A｜E，所以A*(A*)*＝｜A*｜E＝｜A｜n﹣1E．(因｜A*｜＝｜A｜n﹣1)．
再用A左乘上式两端，得(AA*)(A*)*＝｜A｜n﹣1A，即｜A｜(A*)*＝｜A｜n﹣1A．而由A非奇异知｜A｜≠0，于是得(A*)*＝｜A｜n﹣2A．
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考研数学一

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