设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是其伴随矩阵，则下列选项中，正确的是( )．

admin2020-06-05 29

问题设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A^*是其伴随矩阵，则下列选项中，正确的是( )．

选项 A、(A^*)^*＝｜A｜^n﹣1A
B、(A^*)^*＝｜A｜^n＋1A
C、(A^*)^*＝｜A｜^n﹣2A
D、(A^*)^*＝｜A｜^n＋2A

答案C

解析方法一
取A＝

，则A^*＝

，(A^*)^*＝

＝A．此为n＝2的情形，比较4个备选项(令n＝2)，显然只有(C)正确．
方法二
因为A^﹣1＝

，即A^*＝｜A｜A^﹣1．故有(A^*)^*＝｜A^*｜(A^*)^﹣1＝｜｜A｜A^﹣1｜(｜A｜A^﹣1)^﹣1＝｜A｜ⁿ｜A｜^﹣1

(A^﹣1)^﹣1＝｜A｜^n﹣2A
因而(C)正确(上述推演中利用了结论｜A^﹣1｜＝｜A｜^﹣1以及(kA)^﹣1＝

，k≠0)．
方法三
因为AA^*＝A^*A＝｜A｜E，所以A^*(A^*)^*＝｜A^*｜E＝｜A｜^n﹣1E．(因｜A^*｜＝｜A｜^n﹣1)．
再用A左乘上式两端，得(AA^*)(A^*)^*＝｜A｜^n﹣1A，即｜A｜(A^*)^*＝｜A｜^n﹣1A．而由A非奇异知｜A｜≠0，于是得(A^*)^*＝｜A｜^n﹣2A．

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考研数学一

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