2. 考研
  3. 如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系．

如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系．

admin2016-11-03  61
问题 如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系．
选项
答案设A=[*]，其中αj为A的行向量，B=[bij]r×r，则BA=[*]，其中βj为BA的行向量，则 [*] 因α1，α2，…，αr线性无关，且B为满秩矩阵，即 r(B)=r=向量组(β1，β2，…，βr)的个数， 故β1，β2，…，βr线性无关． 因αj为某齐次线性方程组的基础解系，则因β1，β2，…，βr均为α1，α2，…，αr的线性组合，故β1，β2，…，βr也必为该齐次线性方程组的r个解．又它们线性无关，所以β1，β2，…，βr即BA的r个行向量也为该齐次方程组的一个基础解系．
解析 将矩阵A，B的行向量组的关系转化为矩阵关系证之．
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考研数学一

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