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  3. 已知齐次线性方程组其中． 试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

已知齐次线性方程组其中． 试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

admin2017-07-10  69
问题 已知齐次线性方程组其中．
试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
选项
答案该方程组的系数行列式为[*][*] (1)当b≠0且[*]时，r(A)=n，方程组仅有零解． (2)当b=0时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+…+anxn=0．由[*]可知，a1，a2，…，an不全为零．不妨设a1≠0，得原方程组的一个基础解系为[*] [*] 有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为[*] 由此得原方程组的同解方程组为x1=x1，x2=x1，x3=x1，…，xn=x1，故原方程组的一个基础解系为α=(1，1，1，…，1)T．
解析 本题主要考查齐次线性方程组是否有非零解的判定方法，行列式的计算及基础解系的概念与求法．要求考生掌握对于Ax=0，当｜A｜≠0时，方程组有唯一零解；当｜A｜=0时，方程组有非零解，在｜A｜=0的条件下再求出方程组的一个基础解系．
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考研数学二

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