2. 考研
  3. 设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式 χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)． 求证：当χ＞0时f(χ)＜χ2成立．

设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式 χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)． 求证：当χ＞0时f(χ)＜χ2成立．

admin2020-03-05  50
问题 设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式
    χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)．
    求证：当χ＞0时f(χ)＜χ2成立．
选项
答案由题设知，当χ＞0时 χf〞(χ)＜χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)， 即f〞(χ)＜[*]＜2 其中ln(1＋χ)＜χ(χ＞0)，这是因为：记g(χ)=＝χ－ln(1＋χ)(χ≥0)，则g′(χ)＝1－[*]＞0(χ＞0)，故g(χ)在[0，＋∞)单调增加，从而g(χ)＞g(0)＝0(χ＞0)． 由麦克劳林公式可得 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋[*]f〞(ξ)χ2＝[*]f〞(ξ)χ2＜χ2(χ＞0)．
解析
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考研数学一

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