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设函数f(χ)在[0,+∞)有连续的一阶导数,在(0,+∞)二阶可导,且f(0)=f′(0)=0,又当χ>0时满足不等式 χf〞(χ)+4ef(χ)≤2ln(1+χ). 求证:当χ>0时f(χ)<χ2成立.
设函数f(χ)在[0,+∞)有连续的一阶导数,在(0,+∞)二阶可导,且f(0)=f′(0)=0,又当χ>0时满足不等式 χf〞(χ)+4ef(χ)≤2ln(1+χ). 求证:当χ>0时f(χ)<χ2成立.
admin
2020-03-05
37
问题
设函数f(χ)在[0,+∞)有连续的一阶导数,在(0,+∞)二阶可导,且f(0)=f′(0)=0,又当χ>0时满足不等式
χf〞(χ)+4e
f(χ)
≤2ln(1+χ).
求证:当χ>0时f(χ)<χ
2
成立.
选项
答案
由题设知,当χ>0时 χf〞(χ)<χf〞(χ)+4e
f(χ)
≤2ln(1+χ), 即f〞(χ)<[*]<2 其中ln(1+χ)<χ(χ>0),这是因为:记g(χ)==χ-ln(1+χ)(χ≥0),则g′(χ)=1-[*]>0(χ>0),故g(χ)在[0,+∞)单调增加,从而g(χ)>g(0)=0(χ>0). 由麦克劳林公式可得 f(χ)=f(0)+f′(0)χ+[*]f〞(ξ)χ
2
=[*]f〞(ξ)χ
2
<χ
2
(χ>0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5fS4777K
0
考研数学一
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