2. 考研
  3. 设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明： (1)对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得 f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]； (2)．

设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明： (1)对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得 f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]； (2)．

admin2018-01-23  85
问题 设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明：
(1)对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得
f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]；
(2)．
选项
答案(1)对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1． 因为f’’(x)∈C(－1，1)且f’’(x)≠0，所以f’’(x)在(－1，1)内保号，不妨设f’’(x)＞0， 则f’(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的． (2)由泰勒公式．得 f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋[*]x2，其中ξ介于0与x之间， 而f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，所以有 [*] 令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得[*]．
解析
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考研数学三

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