(1998年试题，十一)设x∈(0，1)，证明：(1)(1+x)ln2(1+x)

admin2021-01-19 54

问题 (1998年试题，十一)设x∈(0，1)，证明：(1)(1+x)ln²(1+x)2；(2)

选项

答案证明不等式的一条常规途径是构造辅助函数，通过研究其单调性来证明不等式．由题设，引入辅助函数φ(x)=(1+x)ln²(1+x)-x²，则φ(x)=In²(1+x)+21n(1+x)一2x至此尚无法判断φ^’(x)的符号，于是由[*]知，当x∈(0，1)时φ^’’(x)<0，因此φ^’(x)严格单调递减，且由φ^’(0)=0知，当x∈(0，1)时，φ^’(x)<0，从而φ(x)也是严格单调递减，且由φ(0)=0知，φ(x)<0，此即(1+x)ln²(1+c)2，x∈(φ，1)，(1)得证又引入第二个辅助函数[*]则[*]由(1)已知结论，当x∈(0，1)时f^’(x)<0，所以f(x)在(0，1)内严格单调递减．已知f(x)在[0，1]上连续，且[*]所以当x∈(0，1)时[*]，此即(2)的左不等式又由[*]即右边不等式[*]成立综上，(2)成立．

解析利用导数证明单调性，再利用单调性来证明不等式是常用的不等式证明方法之一．

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考研数学二

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