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(1998年试题,十一)设x∈(0,1),证明:(1)(1+x)ln2(1+x)
(1998年试题,十一)设x∈(0,1),证明:(1)(1+x)ln2(1+x)
admin
2021-01-19
52
问题
(1998年试题,十一)设x∈(0,1),证明:(1)(1+x)ln
2
(1+x)
2;(2)
选项
答案
证明不等式的一条常规途径是构造辅助函数,通过研究其单调性来证明不等式.由题设,引入辅助函数φ(x)=(1+x)ln
2
(1+x)-x
2
,则φ(x)=In
2
(1+x)+21n(1+x)一2x至此尚无法判断φ
’
(x)的符号,于是由[*]知,当x∈(0,1)时φ
’’
(x)<0,因此φ
’
(x)严格单调递减,且由φ
’
(0)=0知,当x∈(0,1)时,φ
’
(x)<0,从而φ(x)也是严格单调递减,且由φ(0)=0知,φ(x)<0,此即(1+x)ln
2
(1+c)
2,x∈(φ,1),(1)得证又引入第二个辅助函数[*]则[*]由(1)已知结论,当x∈(0,1)时f
’
(x)<0,所以f(x)在(0,1)内严格单调递减.已知f(x)在[0,1]上连续,且[*]所以当x∈(0,1)时[*],此即(2)的左不等式又由[*]即右边不等式[*]成立综上,(2)成立.
解析
利用导数证明单调性,再利用单调性来证明不等式是常用的不等式证明方法之一.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5q84777K
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考研数学二
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