2. 考研
  3. 设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2019-05-08  57
问题 设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
选项
答案(1)求a的值．A的特征多项式为 [*] 若λ1=λ2=2是特征方程的二重根，则由命题2．5．2．1得1+4+5=2+2+λ3，则λ3=6，于是A的特征值为2，2，6．再利用命题2．5．2．1得 λ1λ2λ3=2×2×6=6(a+6)， 即 a=－2． 或者，若λ=2是特征方程的二重根，由式①知，必有22－8×2+18+3a=0，解得a=－2． 若λ=2不是特征方程的二重根，设λ0为其二重根，则由命题2．5．2．1得 2+λ0+λ0=1+4+5， 即 λ0=4． 于是A的特征值为2，4，4．再由命题2．5．2．1得 2×4×4=|A|=6(a+6)， 解得 a=－2／3． 或者，当λ=2不是特征方程的二重根时，则由式①知λ2一8λ+18+3a必为完全平方λ2－8λ+42=(λ－4)2．因而18+3a=16，解得a=－2／3． (2)讨论A是否可相似对角化． 当a=－2时，A的特征值为2，2，6，特征矩阵[*]的秩为1，故二重特征值λ=2对应的线性无关的特征向量有2个，由命题2．5．3．2(3)知A可相似对角化． 当a=－2／3时，A的特征值为2，4，4，特征矩阵[*]的秩为2，故二重特征值λ=4对应的线性无关的特征向量只有1个．由该命题知，A不可相似对角化． 注：命题2．5．2．1 设λ1，λ2，…，λn，为n阶矩阵A=[aij]的n个特征值，则(1)λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann=tr(A)； (2)λ1λ2…λn=|A|． 命题2．5．3．2 (3)n阶矩阵A可相似对角化的另一充要条件是A的ni重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数ni，即n－秩(λiE－A)=ni，亦即秩(riE－A)=n－ni，其中ni为特征值λi的重数，从而将A是否可相似对角化的问题转化为特征矩阵riE一A的秩的计算问题．
解析
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考研数学三

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