(Ⅰ)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f(c)<0,(a<c<b).证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使f"(ξ)>0; (Ⅱ)设h>0,f(x)在[a一h,a+h]上连续,在(a一h,a+h

admin2017-10-23  26

问题 (Ⅰ)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f(c)<0,(a<c<b).证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使f"(ξ)>0;
    (Ⅱ)设h>0,f(x)在[a一h,a+h]上连续,在(a一h,a+h)内可导,证明:存在0<θ<1使得
    =f’(a+θh)一f’(a一θh).

选项

答案(Ⅰ)由于a<c<b,由已知条件可知f(x)在[a,c]与[c,b]上都满足拉格朗日中值定理的条件,故存在点ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使 f(c)一f(a)=f’(ξ1)(c一a), ξ1∈(a,c); f(b)一f(c)=f’(ξ2)(b一c), ξ2∈(c,b). 由于f(a)=f(b)=0,于是有 f(c)=f’(ξ1)(c一a), ① 一f(c)=f’(ξ2)(b一c). ② 由于c一a>0,b一c>0,f(c)<0,因此由式①、②可知 f’(ξ1)<0, f’(ξ2)>0. 由已知条件知f’(x)在[ξ1,ξ2]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使 f"(ξ)=[*]>0. (Ⅱ)令F(x)=f(a+x)+f(a一x),则F(x)在[0,h]上连续,在(0,h)内可导,由拉格朗日中值 定理可得存在θ∈(0,1)使得 [*]=F’(θh). 由于 F(h)一F(0)=f(a+h)+f(a一h)一2f(a), F’(x)=f’(a+x)一f’(a一x), F’(θh)=f’(a+θh)一f’(a一θh), 因此存在满足0<θ<1的θ使得 [*]=f’(a+θh)一f’(a一θh).

解析 (Ⅰ)明在某区间内存在一点ξ使得f’(ξ)=0常可考虑利用罗尔定理,而证明在某区间内存在一点ξ使得f’(ξ)>0常可考虑利用拉格朗日中值定理.
    (Ⅱ)在[a,a+h]和[a一h,a]上分别对f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在θ1,θ2∈(0,1)使得
    f(a+h)一f(a)=f’(a+θ1h)h,  f(a一h)一f(a)=一f’(a一θ2h)h,
这时有=f’(a+θ1h)一f’(a一θ2h),然而θ1与θ2未必相等.若将f(a+h)一2f(a)+f(a一h)重新组合成
    f(a+h)一2f(a)+f(a一h)=[f(a+h)+f(a一h)]一[f(a+0)+f(a—0)],
我们发现它是F(x)=f(a+x)+f(a一x)在点x=h的值减去在点x=0的值,并且f’(a+θh)一f’(a一θh)=F’(θh),要证的等式就是对F(x)在[0,h]上应用拉格朗日中值定理的结果.
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