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  3. 设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是( )

设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是( )

admin2019-08-11  30
问题 设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是(    )
选项 A、A－E；A+E．
B、A－E；(A+E)－1．
C、A－E；(A+E)*．
D、A－E；(A+E)T．
答案D
解析 由于(E+A)x=0只有零解，知r(E+A)=n，所以存在(E+A)－1且｜E+A｜≠0．
因
(A+E)(A－E)=A2－E=(A－E)(A+E)，    (*)
故A+E，A－E可交换，故(A)成立．
(*)式两边各左、右乘(A+E)－1，得
(A－E)(A+E)－1=(A+E)－1(A—E)，    (**)
故(A+E)－1，A－E可交换，故(B)成立．
(**)式两边乘｜A+E｜(数)，得
(A－E)(A+E)*=(A+E)*(A－E)，
故(A+E)*，A－E可交换，故(C)成立．
由排除法知，应选(D)，即(A+E)T，A－E不能交换．
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考研数学二

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