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考研
下列二次型中,正定二次型是( )。
下列二次型中,正定二次型是( )。
admin
2022-03-23
57
问题
下列二次型中,正定二次型是( )。
选项
A、f
1
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
-x
3
)
2
+(x
3
-x
4
)
2
+(x
4
-x
1
)
2
B、f
2
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
C、f
3
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
-x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
D、f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
-x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
答案
D
解析
方法一
选项A:取x
1
=(1,1,1,1)
T
,使得f
1
(x
1
)=0,f
1
不正定。
选项B:取x
2
=(1,-1,1,-1)
T
,使得f
2
(x
2
)=0,f
2
不正定。
选项C:取x
3
=(1,1,-1,-1)
T
,使得f
3
(x
3
)=0,f
3
不正定。
由排除法知,f
4
(x)是正定二次型,应选D。
方法二
对于D,f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
,令
故x=C
-1
y是可逆线性变换,则由f
4
y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
+y
4
2
知,f
4
是正定二次型。
方法三
f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
=(x
1
-x
2
,x
2
+x
3
,x
3
+x
4
,x
4
+x
1
)
=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
=x
T
D
T
Dx=x
T
Ax.
其中A=D
T
D,|D|=
=2≠0,D是可逆矩阵。
故知A=D
T
D是正定矩阵,f
4
是正定二次型。
方法四
写出各二次型的对应矩阵,利用顺序主子式是否都大于零来判别。
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考研数学三
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