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  3. 下列二次型中，正定二次型是( )。

下列二次型中，正定二次型是( )。

admin2022-03-23  65
问题 下列二次型中，正定二次型是(          )。
选项 A、f1(x1，x2，x3，x4)=(x1－x2)2+(x2－x3)2+(x3－x4)2+(x4－x1)2
B、f2(x1，x2，x3，x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2
C、f3(x1，x2，x3，x4)=(x1－x2)2+(x2+x3)2+(x3－x4)2+(x4+x1)2
D、f4(x1，x2，x3，x4)=(x1－x2)2+(x2－x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2
答案D
解析 方法一
选项A：取x1=(1,1,1,1)T，使得f1(x1)=0,f1不正定。
选项B：取x2=(1,－1,1,－1)T,使得f2(x2)=0,f2不正定。
选项C：取x3=(1,1,－1,－1)T，使得f3(x3)=0,f3不正定。
由排除法知，f4(x)是正定二次型，应选D。
方法二
对于D，f4(x1，x2，x3，x4)=(x1－x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2,令

故x=C-1y是可逆线性变换，则由f4y12+y22+y32+y42知，f4是正定二次型。
方法三
f4(x1，x2，x3，x4)=(x1－x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2
=(x1－x2，x2+x3，x3+x4，x4+x1)
=（x1，x2，x3，x4）
=xTDTDx=xTAx.
其中A=DTD，｜D｜==2≠0，D是可逆矩阵。
故知A=DTD是正定矩阵，f4是正定二次型。
方法四
写出各二次型的对应矩阵，利用顺序主子式是否都大于零来判别。
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考研数学三

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