3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于1的特征向量.记B=A5-4A3+E. (1)求B的特征值和特征向量. (2)求B.

admin2020-03-16  31

问题 3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于1的特征向量.记B=A5-4A3+E.
    (1)求B的特征值和特征向量.
    (2)求B.

选项

答案(1)记f(x)=x5-4x3+1,则B的特征值为f(1)=-2,f(2)=1,f(-2)=1. α1=(1,-1,1)T是A的属于1的特征向量,则它也是B的特征向量,特征值-2. B的属于-2的特征向量为cα1,c≠0. B也是实对称矩阵,因此B的属于特征值1的特征向量是与α1正交的非零向量,即是x1-x2+x3=0的非零解.求出此方程的基础解系α2=(1,1,0)T,α3=(0,1,1)T,B的属于特征值1的特征向量为 c1α2+c2α3,c1,c2不全为0. (2)B(α1,α2,α3)=(-2α1,α2,α3).解此矩阵方程得 [*]

解析
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