设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。

admin2017-01-14 61

问题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程

变换为y=y(x)满足的微分方程；
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=

的解。

选项

答案(Ⅰ)由反函数的求导公式知[*]，于是有 [*] 代入原微分方程得 y-y’’=sinx。 (*) (Ⅱ)方程(*)所对应的齐次方程y’’-y=0的通解为 y=C₁e^x+C₂e^-x。设方程(*)的特解为 y^*=Acosx+Bsinx，代入方程(*)，求得A=0，B=[*]，因此y’’-y=sinx的通解是 y=Y+y^*=C₁e^x+C₂e^-x-[*] 由y(0)=0，y’(0)=[*]，得C₁=1，C₂=-1。故所求初值问题的解为 y=e^x-e^-x-[*]

解析

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考研数学一

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设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。

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设二二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX＝ax12＋2x22＋(﹣2x32)＋2bx1x3(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为﹣(I)求a，b的值；(II)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的

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设D={(x，y)丨x2+y2≤x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy．

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