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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解。
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解。
admin
2017-12-29
46
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1一a)x
1
2
+(1—a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形;
(Ⅲ)求方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解。
选项
答案
(Ⅰ)二次型矩阵 [*] 二次型的秩为2,则二次型矩阵A的秩也为2,从而 [*] 因此a=0。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论a=0,则 [*] 由特征多项式 [*] =(λ一2)[(λ一1)
2
—1]=λ(λ一2)
2
得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0。 当λ=2,由(2E—A)x=0得特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(0,0,1)
T
。 当λ=0,由(0E—A)x=0得特征向量α
3
=(1,一1,0)
T
。 容易看出α
1
,α
2
,α
3
已两两正交,故只需将它们单位化: γ
1
=[*](1,1,0)
T
,γ
2
=(0,0,1)
T
,γ
3
=[*](1,一1,0)
T
。 那么令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*] 则在正交变换x=Qy下,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为 标准形f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=y
T
Λy=2y
1
2
+2y
2
2
。 (Ⅲ)由f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0,得[*] 所以方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的通解为k(1,一1,0)
T
,其中k为任意常数。
解析
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考研数学三
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