已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

admin2017-12-29 30

问题已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=（1一a）x₁²+（1—a）x₂²+2x₃²+2（1+a）x₁x₂的秩为2。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x₁，x₂，x₃）化为标准形；
（Ⅲ）求方程f（x₁，x₂，x₃）=0的解。

选项

答案（Ⅰ）二次型矩阵 [*] 二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 [*] 因此a=0。（Ⅱ）由（Ⅰ）中结论a=0，则 [*] 由特征多项式 [*] =（λ一2）[（λ一1）²—1]=λ（λ一2）² 得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=0。当λ=2，由（2E—A）x=0得特征向量α₁=（1，1，0）^T，α₂=（0，0，1）^T。当λ=0，由（0E—A）x=0得特征向量α₃=（1，一1，0）^T。容易看出α₁，α₂，α₃已两两正交，故只需将它们单位化： γ₁=[*]（1，1，0）^T，γ₂=（0，0，1）^T，γ₃=[*]（1，一1，0）^T。那么令Q=（γ₁，γ₂，γ₃）=[*] 则在正交变换x=Qy下，二次型f（x₁，x₂，x₃）化为标准形f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx=y^TΛy=2y₁²+2y₂²。（Ⅲ）由f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂=（x₁+x₂）²+2x₃²=0，得[*] 所以方程f（x₁，x₂，x₃）=0的通解为k（1，一1，0）^T，其中k为任意常数。

解析

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考研数学三

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已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

考研数学三

设u1=2，un+1=收敛．

求解

设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．证明：β，Aβ，A2β线性无关；

已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件：(1)aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式；(2)a11≠0．求|A|．

交换二次积分次序：∫01dx∫1-x21f(x，y)dy+∫1edx∫lnx1f(x，y)dy=________．

设函数f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)内有界，证明：f’(x)在(一∞，+∞)内有界．

求不定积分

求不定积分

在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6／5”的概率为________．

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

下列哪种疾病引起的腹泻属于慢性腹泻

M系甲律师事务所执业律师，于2004年5月转至同城市乙律师事务所执业，同时将其2004年2月接的当事人魏某的名誉侵权案带至乙所继续代理，M的行为是否合法?()。

房地产产品出售、出租时，将开发产品成本按照国家有关财务和会计制度结转的成本是()。

期货公司风险控制的核心体现为()。

某股份有限公司经会计师事务所审计的部分财务资料如下(单位：万元)：该公司拟在2011年5月申请首次公开发行股票并上市，根据上述资料，下列说法中．正确的有()。

某段时间内某磁盘将要被访问的磁道号为28、32、87、134、96、15，设初始时从50号磁道开始向磁道号增加方向访问。若采用扫描算法(SCAN)，则平均寻道长度约为(1)。

设有学生表student(学号，姓名，性别，出生日期，院系)、课程表course(课程号，课程名，学时)和选课表score(学号，课程号，成绩)，查询“计算机系”学生的学号、姓名、学生所选课程的课程名和成绩，正确的命令是

软件设计中划分模块的一个准则是()。

A、Tallenoughforthemtobuildnests.B、Shortsothatbirdscanfind.C、Itdoesn’tmattersinceallbirdslikeboth.D、Itdepen

已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形； （Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

考研数学三

设u1=2，un+1=收敛．

求解

设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．证明：β，Aβ，A2β线性无关；

已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件：(1)aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式；(2)a11≠0．求|A|．

交换二次积分次序：∫01dx∫1-x21f(x，y)dy+∫1edx∫lnx1f(x，y)dy=________．

设函数f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)内有界，证明：f’(x)在(一∞，+∞)内有界．

求不定积分

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在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6／5”的概率为________．

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

下列哪种疾病引起的腹泻属于慢性腹泻

M系甲律师事务所执业律师，于2004年5月转至同城市乙律师事务所执业，同时将其2004年2月接的当事人魏某的名誉侵权案带至乙所继续代理，M的行为是否合法?()。

房地产产品出售、出租时，将开发产品成本按照国家有关财务和会计制度结转的成本是()。

期货公司风险控制的核心体现为()。

某股份有限公司经会计师事务所审计的部分财务资料如下(单位：万元)：该公司拟在2011年5月申请首次公开发行股票并上市，根据上述资料，下列说法中．正确的有()。

某段时间内某磁盘将要被访问的磁道号为28、32、87、134、96、15，设初始时从50号磁道开始向磁道号增加方向访问。若采用扫描算法(SCAN)，则平均寻道长度约为(1)。

设有学生表student(学号，姓名，性别，出生日期，院系)、课程表course(课程号，课程名，学时)和选课表score(学号，课程号，成绩)，查询“计算机系”学生的学号、姓名、学生所选课程的课程名和成绩，正确的命令是

软件设计中划分模块的一个准则是()。

A、Tallenoughforthemtobuildnests.B、Shortsothatbirdscanfind.C、Itdoesn’tmattersinceallbirdslikeboth.D、Itdepen

已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。