已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

admin2017-12-29 26

问题已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=（1一a）x₁²+（1—a）x₂²+2x₃²+2（1+a）x₁x₂的秩为2。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x₁，x₂，x₃）化为标准形；
（Ⅲ）求方程f（x₁，x₂，x₃）=0的解。

选项

答案（Ⅰ）二次型矩阵 [*] 二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 [*] 因此a=0。（Ⅱ）由（Ⅰ）中结论a=0，则 [*] 由特征多项式 [*] =（λ一2）[（λ一1）²—1]=λ（λ一2）² 得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=0。当λ=2，由（2E—A）x=0得特征向量α₁=（1，1，0）^T，α₂=（0，0，1）^T。当λ=0，由（0E—A）x=0得特征向量α₃=（1，一1，0）^T。容易看出α₁，α₂，α₃已两两正交，故只需将它们单位化： γ₁=[*]（1，1，0）^T，γ₂=（0，0，1）^T，γ₃=[*]（1，一1，0）^T。那么令Q=（γ₁，γ₂，γ₃）=[*] 则在正交变换x=Qy下，二次型f（x₁，x₂，x₃）化为标准形f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx=y^TΛy=2y₁²+2y₂²。（Ⅲ）由f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂=（x₁+x₂）²+2x₃²=0，得[*] 所以方程f（x₁，x₂，x₃）=0的通解为k（1，一1，0）^T，其中k为任意常数。

解析

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考研数学三

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已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

考研数学三

当上述级数收敛时，求其和函数S(x)，并求∫ln2ln3S(x)dx．

设u1=2，un+1=收敛．

求差分方程yt+1+3yt=3t+1(2t+1)的通解。

设α1，α2，…，αn-1是n个实数，方阵若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P使P-1AP=A．

设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论：aij=-AijATA=E且|A|=-1．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

计算定积分

设有4阶方阵A满足条件|3E+A|=0，AAT=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．

设数列{an)单调减少，的收敛域为()

设f(x)，g’(x)，φ’(x)的图形分别为则曲线y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)中恰有两个拐点的是

在可兴奋细胞，能以不衰减的形式在细胞膜上传导的电活动是

关于急性脓胸的临床表现，下列错误的是

水泥混凝土面层实测强度时，以下说法正确的是()。

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“公共劳务”收费法和成本-效益分析法及最低费用选择法的区别在于()。

某厂辅助生产发电车间待分配费用8200元，提供给辅助生产车间供水车间3300度，基本生产车间38700度，行政管理部门2300度，共计44300度。假设采用直接分配法分配辅助生产费用，则行政管理部门应负担的电费为()元。

下面关于C++流的叙述中，正确的是()。

ItoldhimhowtogetherebutperhapsI______himamap.

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