设α1,α2,…,αk(k<n)是Rn中七个线性无关的列向量,证明:存在n阶满秩方阵P,使得P以α1,α2,…,αk为其前五列.

admin2016-04-11  39

问题 设α1,α2,…,αk(k<n)是Rn中七个线性无关的列向量,证明:存在n阶满秩方阵P,使得P以α1,α2,…,αk为其前五列.

选项

答案取齐次线性方程组[*]=0的基础解系毒ξ1,…,ξn—k,则可证α1,…,αk,ξ1,…,ξn—k线性无关:设λ1α1+…+λkαk1ξ1+…+μn—kξn—k=0,两墙左乘(λ1α1+…+λkαk)T,并利用α1ξ1=0,得‖ λ1α1+…+λkαk2=0,→λ1α1+…+λkαk)T=0,而α1,…,αk线性无关,故有λ1=…=λk=0,→μ1ξ1+…+μn—kξn—k=0,又ξ1+…+ξn—k线性无关,故有μ1=…=μn—k=0,于是证得α1,…,αk,ξ1,…,ξn—k线性无关,令P=[α1 … αk ξ1 … ξn—k],则P为满秩方阵.

解析
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