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  3. 设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中七个线性无关的列向量，证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前五列．

设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中七个线性无关的列向量，证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前五列．

admin2016-04-11  62
问题 设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中七个线性无关的列向量，证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前五列．
选项
答案取齐次线性方程组[*]=0的基础解系毒ξ1，…，ξn—k，则可证α1，…，αk，ξ1，…，ξn—k线性无关：设λ1α1+…+λkαk+μ1ξ1+…+μn—kξn—k=0，两墙左乘(λ1α1+…+λkαk)T，并利用α1ξ1=0，得‖ λ1α1+…+λkαk‖2=0，→λ1α1+…+λkαk)T=0，而α1，…，αk线性无关，故有λ1=…=λk=0，→μ1ξ1+…+μn—kξn—k=0，又ξ1+…+ξn—k线性无关，故有μ1=…=μn—k=0，于是证得α1，…，αk，ξ1，…，ξn—k线性无关，令P=[α1 … αk ξ1 … ξn—k]，则P为满秩方阵．
解析
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考研数学一

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