证明:(I)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得 (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ"(ξ)<0。

admin2020-02-28  30

问题 证明:(I)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得
    (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ"(ξ)<0。

选项

答案(I)设M和m分别为连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值,即 m≤f(x)≤M,x∈[a,b]。 根据定积分的性质,有 [*] 根据连续函数的介值定理得,至少存在一点η∈[a,b],使得 [*] 即有 [*] (Ⅱ)由(I)的结论可知,至少存在一点η∈[2,3],使得 [*] 又因为[*]所以η∈(2,3]。 对函数φ(x)在[1,2],[2,1,7]上分别应用拉格朗日中值定理,并结合φ(2)>φ(1),φ(2)>φ(η)得 [*] 在[ξ1,ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理,得 [*]

解析
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