2. 考研
  3. 证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得 (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0。

证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得 (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0。

admin2020-02-28  35
问题 证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得
    (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0。
选项
答案(I)设M和m分别为连续函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值，即 m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。 根据定积分的性质，有 [*] 根据连续函数的介值定理得，至少存在一点η∈[a，b]，使得 [*] 即有 [*] (Ⅱ)由(I)的结论可知，至少存在一点η∈[2，3]，使得 [*] 又因为[*]所以η∈(2，3]。 对函数φ(x)在[1，2]，[2，1，7]上分别应用拉格朗日中值定理，并结合φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)得 [*] 在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，得 [*]
解析
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考研数学二

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