倒圆锥形容器的轴截面是正三角，内盛水的深度为6cm，水面距离容器口距离为l cm，现放入一个棱长为4cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出?

admin2019-06-01 80

问题倒圆锥形容器的轴截面是正三角，内盛水的深度为6cm，水面距离容器口距离为l cm，现放入一个棱长为4cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出?

选项

答案如图所示：O＇P=6cm，OO＇=lcm．如图甲，设水的体积为V₁，容器的总容积为V，则容器尚余容积为V—V₁．由题意知，O＇P=6，OO＇=1．∴OP=7，OA²=[*]，O＇C²=12， ∴V=[*]πOA²×7=[*]×49π，V₁=[*]πO＇C²×6=24π． ∴未放入铁块前容器中尚余的容积为V—V₁=[*]×49π－24π≈44．3cm³．如图所示，放入铁块后，EMNF是以铁块下底面对角线作圆锥的轴截面．∴MN=4√2．∴O₁M=2√2，O₁P=2√6．∴GM=7—2√6， ∴正方体位于容器口下的体积为4×4×(7—2√6)=112—32√6≈33．6＜44．3， ∴放入铁块后容器中的水不会溢出． [*]

解析

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倒圆锥形容器的轴截面是正三角，内盛水的深度为6cm，水面距离容器口距离为l cm，现放入一个棱长为4cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出?

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