2. 考研
  3. 已知3阶实对称矩阵A满足trA=一6，AB=C，其中 求k的值与矩阵A．

已知3阶实对称矩阵A满足trA=一6，AB=C，其中 求k的值与矩阵A．

admin2019-12-26  58
问题 已知3阶实对称矩阵A满足trA=一6，AB=C，其中
         
求k的值与矩阵A．
选项
答案由题设AB=C可知A(1，2，1)T=0，从而λ1=0为A的特征值，α1=(1，2，1)T为相应的特征向量； 又A(1，k，1)T=(－12，－12k，－12)T=－12(1，k，1)T，由此可知λ2=－12为矩阵A的特征值，α2=(1，k，1)T为相应的特征向量．因为λ1+λ2+λ3=trA=－6，所以λ3=6． 又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，故有α1Tα2=0，即(1，2，1)(1，k，1)T=0，解得k=－1． 设A的属于λ3=6的特征向量为α3(x1，x2，x3)T，则显然α1Tα3=0，α2Tα3=0，即得到方程组： [*] 求得基础解系α3=(－1，0，1)T，即为A的属于λ3=6的特征向量． 由Aα0=0α1，Aα2=-12α2，Aα3=6α3，得 A(α1，α2，α3)=(0，－12α2，6α3)， 即 [*] 故 [*]
解析
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考研数学三

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