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  3. η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： （Ⅰ）η*，ξ1，…，ξn—r线性无关； （Ⅱ）η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： （Ⅰ）η*，ξ1，…，ξn—r线性无关； （Ⅱ）η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。

admin2017-12-29  29
问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：
（Ⅰ）η*，ξ1，…，ξn—r线性无关；
（Ⅱ）η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。
选项
答案（Ⅰ）假设η*，ξ1，ξn—r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn—r，使得 c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0， （1）用矩阵A左乘上式两边，得 0=A（c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r）= c0Aη*+c1Aξ1+…+cn—rAξn—r=c0b， 其中b≠0，则c0=0，于是（1）式变为 c1ξ1+…+c…ξn—r=0， ξ1，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn—r线性无关，因此c1=c2=…=cn—r=0，与假设矛盾。 所以η*，ξ1，ξn—r线性无关。 （Ⅱ）假设η*，η*+ξ1，η*+ξn—r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn—r使 c0η*+c1（η*+ξ1）+…+cn—r（η*+ξn—r）=0， 即 （c0+c1+…+cn—r）η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0。 （2）用矩阵A左乘上式两边，得 0=A[（c0+c1+…+cn—r）η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r] =（c0+c1…+cn—r）Aη*+c1Aξ1+…+cn—rAξn—r =（c0+c1…+cn—r）b， 因为b≠0，故c0+c1+…+cn—r=0，代入（2）式，有 c1ξ1+…+cn—rξn—r=0， ξ1，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn—r线性无关，因此c1=c2=…=cn—r=0，则c0=0。与假设矛盾。 综上，向量组η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。
解析
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考研数学三

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