η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: (Ⅰ)η*,ξ1,…,ξn—r线性无关; (Ⅱ)η*,η*+ξ1,…,η*+ξn—r线性无关。

admin2017-12-29  37

问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:
(Ⅰ)η*,ξ1,…,ξn—r线性无关;
(Ⅱ)η*,η*1,…,η*n—r线性无关。

选项

答案(Ⅰ)假设η*,ξ1,ξn—r线性相关,则存在不全为零的数c0,c1,…,cn—r,使得 c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0, (1)用矩阵A左乘上式两边,得 0=A(c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r)= c0*+c11+…+cn—rn—r=c0b, 其中b≠0,则c0=0,于是(1)式变为 c1ξ1+…+c…ξn—r=0, ξ1,ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ1,ξn—r线性无关,因此c1=c2=…=cn—r=0,与假设矛盾。 所以η*,ξ1,ξn—r线性无关。 (Ⅱ)假设η*,η*1,η*n—r线性相关,则存在不全为零的数c0,c1,…,cn—r使 c0η*+c1(η*1)+…+cn—r(η*n—r)=0, 即 (c0+c1+…+cn—r)η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0。 (2)用矩阵A左乘上式两边,得 0=A[(c0+c1+…+cn—r)η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r] =(c0+c1…+cn—r)Aη*+c11+…+cn—rn—r =(c0+c1…+cn—r)b, 因为b≠0,故c0+c1+…+cn—r=0,代入(2)式,有 c1ξ1+…+cn—rξn—r=0, ξ1,ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ1,ξn—r线性无关,因此c1=c2=…=cn—r=0,则c0=0。与假设矛盾。 综上,向量组η*,η*1,…,η*n—r线性无关。

解析
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