设函数f(x)在区间(0,+∞)内有定义,且对于任意的x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1),又设f’(1)存在且等于a,a≠1. 证明对任意的x∈(0,+∞),f’(x)存在,并求f’(x);

admin2021-04-07  63

问题 设函数f(x)在区间(0,+∞)内有定义,且对于任意的x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1),又设f’(1)存在且等于a,a≠1.
证明对任意的x∈(0,+∞),f’(x)存在,并求f’(x);

选项

答案由于对任意的x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有 f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1), (*) 于是当x∈(0,+∞)且∣△x∣充分小时,有 f(x+△x)-f(x)=f[x(1+△x/x)]-f(x) =f(x)+f(1+△x/x)+(x-1).△x/x-f(x) =f(1+△x/x)+△x-△x/x 又由(*)式,令y=1,有 f(x)=f(x)+f(1)+0, 所以f(1)=0,于是有 f(x+△x)-f(x)=f(1+△x/x)-f(1)+△x-△x/x, 两边同时除以△x,有 [*] 令△x→0,两边取极限,得 f’(x)=f’(1)/x+1-1/x=(a-1)/x+1,x∈(0,+∞)

解析
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