2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1． 证明对任意的x∈(0，＋∞)，f’(x)存在，并求f’(x)；

设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1． 证明对任意的x∈(0，＋∞)，f’(x)存在，并求f’(x)；

admin2021-04-07  106
问题 设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1．
证明对任意的x∈(0，＋∞)，f’(x)存在，并求f’(x)；
选项
答案由于对任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有 f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)， (*) 于是当x∈(0，＋∞)且∣△x∣充分小时，有 f(x＋△x)－f(x)＝f[x(1＋△x／x)]－f(x) ＝f(x)＋f(1＋△x／x)＋(x－1).△x／x－f(x) ＝f(1＋△x／x)＋△x－△x／x 又由(*)式，令y＝1，有 f(x)＝f(x)＋f(1)＋0， 所以f(1)＝0，于是有 f(x＋△x)－f(x)＝f(1＋△x／x)－f(1)＋△x－△x／x， 两边同时除以△x，有 [*] 令△x→0，两边取极限，得 f’(x)＝f’(1)／x＋1－1／x＝(a－1)／x＋1，x∈(0，＋∞)
解析
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考研数学二

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