已知齐次线性方程组 i: x1+2x2+3x3=0； 2x1+3x2+5x3=0； x1+2x2+ax3=0；和ii: x1+bx2+cx3=0； 2x1+b2x2+(c+1)x3=0；同解，求a，b，c的值．

admin2013-02-27 39

问题已知齐次线性方程组
i:
x₁+2x₂+3x₃=0；
2x₁+3x₂+5x₃=0；
x₁+2x₂+ax₃=0；
和ii:
x₁+bx₂+cx₃=0；
2x₁+b²x₂+(c+1)x₃=0；
同解，求a，b，c的值．

选项

答案因为方程组(ii)中方程个数<未知数个数，(ii)必有无穷多解，所以(i)必有无穷多解．因此(i)的系数行列式必为0，即有 [*]=2-a=0 a=2．对(i)系数矩阵作初等行变换，有 [*] 可求出方程组(i)的通解是k(-1，-1，1)^T．因为(-1，-1，1)^T应当是方程组(ii)的解，故有 -1-b+c=0; -2-b²+c+1=0; b=a,c=2或b=0，c=1．当b=0，c=1时，方程组(ii)为 x₁+x₃=0; 2x₁+2x₃=0; 因其系数矩阵的秩为1．从而(i)(ii)不同解，故b=0，c=1应舍去, 当a=2，b=1，c=2时，(i)与(ii)同解．

解析

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考研数学三

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