设z=z(x，y)是由方程z+x2+2y2+z3=1所确定的二元函数．该二元函数有无极值?如有，求出极值点；如不存在，说明理由．

admin2023-03-22 127

问题设z=z(x，y)是由方程z+x²+2y²+z³=1所确定的二元函数．
该二元函数有无极值?如有，求出极值点；如不存在，说明理由．

选项

答案方程两边分别关于x，y求偏导得 [*] 令z’_x=0，z’_y=0得x₀=0，y₀=0．再由z”_xx+2+6z·(z’_x)²+3z²·z”_xx=0得 A=z”_xx(x₀，y₀)=[*] 由z”_xy+6z·z’_x·z’_y+3z²·z”_xy=0得B=z”_xy(x₀，y₀)=0；由z”_yy+4+6z·(z’_y)²+3z²·z”_yy=0得C=z”_yy(x₀，y₀)=[*]由于 B²-AC=[*]＜0，A=[*]＜0，从而(0，0)为z=z(x，y)的极大值点．极大值为z₀=z(0，0)．

解析

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