设z=z(x,y)是由方程z+x2+2y2+z3=1所确定的二元函数. 该二元函数有无极值?如有,求出极值点;如不存在,说明理由.

admin2023-03-22  84

问题 设z=z(x,y)是由方程z+x2+2y2+z3=1所确定的二元函数.
该二元函数有无极值?如有,求出极值点;如不存在,说明理由.

选项

答案方程两边分别关于x,y求偏导得 [*] 令z’x=0,z’y=0得x0=0,y0=0.再由z”xx+2+6z·(z’x)2+3z2·z”xx=0得 A=z”xx(x0,y0)=[*] 由z”xy+6z·z’x·z’y+3z2·z”xy=0得B=z”xy(x0,y0)=0;由z”yy+4+6z·(z’y)2+3z2·z”yy=0得C=z”yy(x0,y0)=[*]由于 B2-AC=[*]<0,A=[*]<0, 从而(0,0)为z=z(x,y)的极大值点.极大值为z0=z(0,0).

解析
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