设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2021-02-25 63

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=ax²₁+2x²₂-2x²₃+2bx₁x₃(b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=-3．对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系 ξ₁=(2，0，1)^T，ξ₂=(0，1，0)^T．对于λ₃=-3，解齐次线性方程组(-3E-A)x=0，得基础解系 ξ₃=(1，0，-2)^T．由于ξ₁，ξ₂，ξ₃已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，由此得 [*] 令矩阵 [*] 则Q为正交矩阵，在正交变换x=Qy，有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y²₁+2y²₂-3y²₃．

解析

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考研数学二

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设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

考研数学二

已知矩阵A=有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f’’(ξ)=0．

设矩阵，问k为何值时，存在可逆阵P，使得P-1AP=A，求出P及相应的对角阵．

设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，并设，∫01f(χ)dχ＝a，求∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy．

求下列函数的导数：

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。求a的值；

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n．①求二次型xTAx的规范形．②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

(1993年)设平面图形A由χ2＋y2≤2χ与y≥χ所确定，求图形A绕直线χ＝2旋转一周所得旋转体的体积。

设函数f(u)可微，且f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz｜(1,1)=_________．

设函数z＝z(x，y)具有二阶连续导数，变量代换u＝ax＋y，v＝x＋by把方程化为＝0，试求a，b的值。

林可霉素禁止采用的给药方式是

在某工程网络计划中,已知工作M的总时差和自由时差分别为6天和3天,监理工程师检查实际进度时发现该工作的持续时间延长了2天,说明此时工作M的实际进度()。

根据《商业银行法》，不得担任商业银行的董事、高级管理人员的情形有()。

关于复审请求案件的范围，下列说法正确的是?

【2014．江苏连云港】我国汉代出现的专门研究学问的大学是()。

实施素质教育是一个系统工程，建立素质教育的保障机制需要()。

试述挪用公款罪的犯罪构成及认定。

Increasingly,nursepractitionersare(i)______theheavyworkloadofphysiciansbyperformingmedicaltasksoncethoughttobet

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