2. 考研
  3. 设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)， 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)， 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2021-02-25  110
问题 设二次型
    f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=-3． 对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系 ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T． 对于λ3=-3，解齐次线性方程组(-3E-A)x=0，得基础解系 ξ3=(1，0，-2)T． 由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化，由此得 [*] 令矩阵 [*] 则Q为正交矩阵，在正交变换x=Qy，有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y21+2y22-3y23．
解析
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考研数学二

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