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设二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b>0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
设二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b>0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
admin
2021-02-25
65
问题
设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=ax
2
1
+2x
2
2
-2x
2
3
+2bx
1
x
3
(b>0),
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3. 对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得其基础解系 ξ
1
=(2,0,1)
T
,ξ
2
=(0,1,0)
T
. 对于λ
3
=-3,解齐次线性方程组(-3E-A)x=0,得基础解系 ξ
3
=(1,0,-2)
T
. 由于ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,为得到规范正交向量组,只需将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化,由此得 [*] 令矩阵 [*] 则Q为正交矩阵,在正交变换x=Qy,有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y
2
1
+2y
2
2
-3y
2
3
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6e84777K
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考研数学二
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