(03年)设F(χ)＝f(χ)g(χ)，其中函数f(χ)，g(χ)在(－∞，＋∞)内满足以下条件： f′(χ)＝g(χ)，g′(χ)＝f(χ)，且f(0)＝0，f(χ)＋g(χ)＝2eχ． (1)求F(χ)所满足的一阶方程； (2)

admin2019-03-19 39

问题 (03年)设F(χ)＝f(χ)g(χ)，其中函数f(χ)，g(χ)在(－∞，＋∞)内满足以下条件：
f′(χ)＝g(χ)，g′(χ)＝f(χ)，且f(0)＝0，f(χ)＋g(χ)＝2e^χ．
(1)求F(χ)所满足的一阶方程；
(2)求出F(χ)的表达式．

选项

答案(1)由F′(χ)＝f′(χ)g(χ)＋f(χ)g′(χ)＝g²(χ)＋f²(χ) ＝[f(χ)＋g(χ)]²－2f(χ)g(χ) ＝4e^2χ－2F(χ) 则F(χ)所满足的一阶方程为 F′(χ)＋2F(χ)＝4e^2χ (2)方程F′(χ)＋2F(χ)＝4e^2χ是一个一阶线性方程，由求解公式得 F(χ)＝e^－∫2dχ[∫4e^2χ.e^∫2dχdχ＋C] ＝e^2χ＋Ce^－2χ 将F(0)＝f(0)g(0)＝0代入上式得C＝－1 故F(χ)＝e^2χ－e^－2χ

解析

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考研数学三

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(03年)设F(χ)＝f(χ)g(χ)，其中函数f(χ)，g(χ)在(－∞，＋∞)内满足以下条件： f′(χ)＝g(χ)，g′(χ)＝f(χ)，且f(0)＝0，f(χ)＋g(χ)＝2eχ． (1)求F(χ)所满足的一阶方程； (2)

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