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[2018年]设数列{xn)满足:x1>0,(n=1.2.…).证明.{xn)收敛,并求
[2018年]设数列{xn)满足:x1>0,(n=1.2.…).证明.{xn)收敛,并求
admin
2019-03-30
41
问题
[2018年]设数列{x
n
)满足:x
1
>0,
(n=1.2.…).证明.{x
n
)收敛,并求
选项
答案
证 设f(x)=e
x
-1-x,x>0则有 [*] 从而 [*] 猜想x
n
>0,现用数学归纳法证明:n=1时,x
1
>0,成立. 假设n=k(k=1,2,…)时,有x
k
>0,则n=k+1时有 [*] 因此,x
n
>0,有下界.再证单调性. [*] 设g(x)=e
x
-1-xe
x
,x>0时g’(x)=e
x
-e
x
-xe
x
=-xe
x
<0,所以g(x)单调递减, g(x)
x-1
x,因此 [*] 即数列{x
n
)单调递减,故由单调有界准则可知极限[*]存在. 不妨设[*]则Ae
A
=e
A
-1. 因为g(x)=e
x
-1-xe
x
只有唯一的零点x=0,所以A=0,即 [*]
解析
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考研数学三
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