[2018年]设数列{xn)满足：x1＞0，(n=1．2．…)．证明．{xn)收敛，并求

admin2019-03-30 86

问题 [2018年]设数列{x_n)满足：x₁＞0，

(n=1．2．…)．证明．{x_n)收敛，并求

选项

答案证设f(x)=e^x－1－x，x＞0则有 [*] 从而 [*] 猜想x_n＞0，现用数学归纳法证明：n=1时，x₁＞0，成立．假设n=k(k=1，2，…)时，有x_k＞0，则n=k+1时有 [*] 因此，x_n＞0，有下界．再证单调性． [*] 设g(x)=e^x－1－xe^x，x＞0时g’(x)=e^x－e^x－xe^x=－xe^x＜0，所以g(x)单调递减， g(x)x－1x，因此 [*] 即数列{x_n)单调递减，故由单调有界准则可知极限[*]存在．不妨设[*]则Ae^A=e^A－1．因为g(x)=e^x－1－xe^x只有唯一的零点x=0，所以A=0，即 [*]

解析

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