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设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0且f(x)=2,证明: (Ⅰ)存在a>0,使得f(a)=1; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的a,存在ξ∈(0,a),使得f’(ξ)=
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0且f(x)=2,证明: (Ⅰ)存在a>0,使得f(a)=1; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的a,存在ξ∈(0,a),使得f’(ξ)=
admin
2017-12-29
49
问题
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0且
f(x)=2,证明:
(Ⅰ)存在a>0,使得f(a)=1;
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的a,存在ξ∈(0,a),使得f’(ξ)=
选项
答案
(Ⅰ)设F(x)=f(x)—1,x≥0。 因为[*]f(x)=2,所以存在X>0,当x>X时,f(x)>1,不妨令x
0
>X,则f(x
0
)>1,所以F(x
0
)>0。 又因为F(0) =—1<0,根据零点定理,存在a∈(0,x
0
)[*](0,+∞),使得F(a)=0,即f(a)=1。 (Ⅱ)函数在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(0,a)使得 [*]
解析
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考研数学三
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