2. 考研
  3. 设函数f（x）在[0，+∞）上可导，f（0）=0且f（x）=2，证明： （Ⅰ）存在a＞0，使得f（a）=1； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f’（ξ）=

设函数f（x）在[0，+∞）上可导，f（0）=0且f（x）=2，证明： （Ⅰ）存在a＞0，使得f（a）=1； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f’（ξ）=

admin2017-12-29  61
问题 设函数f（x）在[0，+∞）上可导，f（0）=0且f（x）=2，证明：
（Ⅰ）存在a＞0，使得f（a）=1；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f’（ξ）=
选项
答案（Ⅰ）设F（x）=f（x）—1，x≥0。 因为[*]f（x）=2，所以存在X＞0，当x＞X时，f（x）＞1，不妨令x0＞X，则f（x0）＞1，所以F（x0）＞0。 又因为F（0） =—1＜0，根据零点定理，存在a∈（0，x0）[*]（0，+∞），使得F（a）=0，即f（a）=1。 （Ⅱ）函数在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（0，a）使得 [*]
解析
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考研数学三

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